Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45095 / 77787
↖ ↑ ↗
← S 31.865895°
W 56.142884°		 ← 259.39 m → S 31.865895°
W 56.140137°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
S 31.868228°
W 56.142884°		 ← 259.39 m →
67 276 m²		 S 31.868228°
W 56.140137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344051361083984 y=0.593471527099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344051361083984 × 217)
    floor (0.344051361083984 × 131072)
    floor (45095.5)     		tx = 45095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593471527099609 × 217)
    floor (0.593471527099609 × 131072)
    floor (77787.5)     		ty = 77787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45095 / 77787 ti = "17/45095/77787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45095/77787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45095 ÷ 217
    45095 ÷ 131072     		x = 0.344047546386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77787 ÷ 217
    77787 ÷ 131072     		y = 0.593467712402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344047546386719 × 2 - 1) × π
    -0.311904907226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.97987817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593467712402344 × 2 - 1) × π
    -0.186935424804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.587274957245308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97987817} λ = -0.97987817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587274957245308))-π/2
    2×atan(0.555839910334171)-π/2
    2×0.507315768133905-π/2
    1.01463153626781-1.57079632675     		φ = -0.55616479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97987817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.142884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55616479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.865895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45095 KachelY 77787 -0.97987817 -0.55616479 -56.142884 -31.865895
    Oben rechts KachelX + 1 45096 KachelY 77787 -0.97983023 -0.55616479 -56.140137 -31.865895
    Unten links KachelX 45095 KachelY + 1 77788 -0.97987817 -0.55620550 -56.142884 -31.868228
    Unten rechts KachelX + 1 45096 KachelY + 1 77788 -0.97983023 -0.55620550 -56.140137 -31.868228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55616479--0.55620550) × R
    4.07100000000549e-05 × 6371000     		dl = 259.36341000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55616479--0.55620550) × R
    4.07100000000549e-05 × 6371000     		dr = 259.36341000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97987817--0.97983023) × cos(-0.55616479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849286085576889 × 6371000     		do = 259.393831158855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97987817--0.97983023) × cos(-0.55620550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849264592724852 × 6371000     		du = 259.387266688617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55616479)-sin(-0.55620550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849286085576889-0.849264592724852)×R²
    abs(-0.97983023--0.97987817)×2.14928520364532e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14928520364532e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14928520364532e-05×40589641000000     		ar = 67276.4173001131m²