Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45094 / 95203
↖ ↑ ↗
← S 62.878945°
W 56.145630°		 ← 139.21 m → S 62.878945°
W 56.142884°		 →
↑
139.21 m
↓
↑
139.21 m
↓
S 62.880197°
W 56.145630°		 ← 139.20 m →
19 378 m²		 S 62.880197°
W 56.142884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344043731689453 y=0.726345062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344043731689453 × 217)
    floor (0.344043731689453 × 131072)
    floor (45094.5)     		tx = 45094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726345062255859 × 217)
    floor (0.726345062255859 × 131072)
    floor (95203.5)     		ty = 95203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45094 / 95203 ti = "17/45094/95203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45094/95203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45094 ÷ 217
    45094 ÷ 131072     		x = 0.344039916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95203 ÷ 217
    95203 ÷ 131072     		y = 0.726341247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344039916992188 × 2 - 1) × π
    -0.311920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97992610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726341247558594 × 2 - 1) × π
    -0.452682495117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.42214400102821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97992610} λ = -0.97992610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42214400102821))-π/2
    2×atan(0.241196336947753)-π/2
    2×0.236675854151654-π/2
    0.473351708303307-1.57079632675     		φ = -1.09744462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97992610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.145630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09744462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.878945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45094 KachelY 95203 -0.97992610 -1.09744462 -56.145630 -62.878945
    Oben rechts KachelX + 1 45095 KachelY 95203 -0.97987817 -1.09744462 -56.142884 -62.878945
    Unten links KachelX 45094 KachelY + 1 95204 -0.97992610 -1.09746647 -56.145630 -62.880197
    Unten rechts KachelX + 1 45095 KachelY + 1 95204 -0.97987817 -1.09746647 -56.142884 -62.880197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09744462--1.09746647) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dl = 139.206349999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09744462--1.09746647) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dr = 139.206349999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97992610--0.97987817) × cos(-1.09744462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455872011427769 × 6371000     		do = 139.206002829852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97992610--0.97987817) × cos(-1.09746647) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.455852563828246 × 6371000     		du = 139.200064271383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09744462)-sin(-1.09746647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455872011427769-0.455852563828246)×R²
    abs(-0.97987817--0.97992610)×1.94475995230481e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.94475995230481e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.94475995230481e-05×40589641000000     		ar = 19377.9462103908m²