Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45094 / 77864
↖ ↑ ↗
← S 32.045333°
W 56.145630°		 ← 258.83 m → S 32.045333°
W 56.142884°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
S 32.047661°
W 56.145630°		 ← 258.83 m →
66 999 m²		 S 32.047661°
W 56.142884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344043731689453 y=0.594058990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344043731689453 × 217)
    floor (0.344043731689453 × 131072)
    floor (45094.5)     		tx = 45094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594058990478516 × 217)
    floor (0.594058990478516 × 131072)
    floor (77864.5)     		ty = 77864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45094 / 77864 ti = "17/45094/77864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45094/77864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45094 ÷ 217
    45094 ÷ 131072     		x = 0.344039916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77864 ÷ 217
    77864 ÷ 131072     		y = 0.59405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344039916992188 × 2 - 1) × π
    -0.311920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97992610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.1881103515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.590966098516052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97992610} λ = -0.97992610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590966098516052))-π/2
    2×atan(0.553792008573703)-π/2
    2×0.505749879436836-π/2
    1.01149975887367-1.57079632675     		φ = -0.55929657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97992610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.145630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55929657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.045333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45094 KachelY 77864 -0.97992610 -0.55929657 -56.145630 -32.045333
    Oben rechts KachelX + 1 45095 KachelY 77864 -0.97987817 -0.55929657 -56.142884 -32.045333
    Unten links KachelX 45094 KachelY + 1 77865 -0.97992610 -0.55933720 -56.145630 -32.047661
    Unten rechts KachelX + 1 45095 KachelY + 1 77865 -0.97987817 -0.55933720 -56.142884 -32.047661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55929657--0.55933720) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dl = 258.853729999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55929657--0.55933720) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dr = 258.853729999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97992610--0.97987817) × cos(-0.55929657) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847628553673068 × 6371000     		do = 258.83357583573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97992610--0.97987817) × cos(-0.55933720) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.847606995098415 × 6371000     		du = 258.826992665611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55929657)-sin(-0.55933720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847628553673068-0.847606995098415)×R²
    abs(-0.97987817--0.97992610)×2.15585746524694e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15585746524694e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15585746524694e-05×40589641000000     		ar = 66999.1845242913m²