Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45094 / 77784
↖ ↑ ↗
← S 31.858897°
W 56.145630°		 ← 259.36 m → S 31.858897°
W 56.142884°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
S 31.861230°
W 56.145630°		 ← 259.35 m →
67 267 m²		 S 31.861230°
W 56.142884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344043731689453 y=0.593448638916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344043731689453 × 217)
    floor (0.344043731689453 × 131072)
    floor (45094.5)     		tx = 45094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593448638916016 × 217)
    floor (0.593448638916016 × 131072)
    floor (77784.5)     		ty = 77784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45094 / 77784 ti = "17/45094/77784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45094/77784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45094 ÷ 217
    45094 ÷ 131072     		x = 0.344039916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77784 ÷ 217
    77784 ÷ 131072     		y = 0.59344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344039916992188 × 2 - 1) × π
    -0.311920166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.97992610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59344482421875 × 2 - 1) × π
    -0.1868896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.587131146546448
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97992610} λ = -0.97992610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587131146546448))-π/2
    2×atan(0.555919851808213)-π/2
    2×0.507376838664764-π/2
    1.01475367732953-1.57079632675     		φ = -0.55604265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97992610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.145630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55604265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.858897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45094 KachelY 77784 -0.97992610 -0.55604265 -56.145630 -31.858897
    Oben rechts KachelX + 1 45095 KachelY 77784 -0.97987817 -0.55604265 -56.142884 -31.858897
    Unten links KachelX 45094 KachelY + 1 77785 -0.97992610 -0.55608336 -56.145630 -31.861230
    Unten rechts KachelX + 1 45095 KachelY + 1 77785 -0.97987817 -0.55608336 -56.142884 -31.861230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55604265--0.55608336) × R
    4.07100000000549e-05 × 6371000     		dl = 259.36341000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55604265--0.55608336) × R
    4.07100000000549e-05 × 6371000     		dr = 259.36341000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97992610--0.97987817) × cos(-0.55604265) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.849350560965995 × 6371000     		do = 259.359411478374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97992610--0.97987817) × cos(-0.55608336) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.849329072336988 × 6371000     		du = 259.352849666998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55604265)-sin(-0.55608336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849350560965995-0.849329072336988)×R²
    abs(-0.97987817--0.97992610)×2.14886290078597e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.14886290078597e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.14886290078597e-05×40589641000000     		ar = 67267.4904392973m²