Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45092 / 77780
↖ ↑ ↗
← S 31.849565°
W 56.151123°		 ← 259.44 m → S 31.849565°
W 56.148377°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
S 31.851898°
W 56.151123°		 ← 259.43 m →
67 305 m²		 S 31.851898°
W 56.148377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344028472900391 y=0.593418121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344028472900391 × 217)
    floor (0.344028472900391 × 131072)
    floor (45092.5)     		tx = 45092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593418121337891 × 217)
    floor (0.593418121337891 × 131072)
    floor (77780.5)     		ty = 77780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45092 / 77780 ti = "17/45092/77780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45092/77780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45092 ÷ 217
    45092 ÷ 131072     		x = 0.344024658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77780 ÷ 217
    77780 ÷ 131072     		y = 0.593414306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344024658203125 × 2 - 1) × π
    -0.31195068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98002198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593414306640625 × 2 - 1) × π
    -0.18682861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.586939398947968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98002198} λ = -0.98002198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586939398947968))-π/2
    2×atan(0.556026458325189)-π/2
    2×0.507458273250524-π/2
    1.01491654650105-1.57079632675     		φ = -0.55587978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98002198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.151123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55587978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.849565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45092 KachelY 77780 -0.98002198 -0.55587978 -56.151123 -31.849565
    Oben rechts KachelX + 1 45093 KachelY 77780 -0.97997404 -0.55587978 -56.148377 -31.849565
    Unten links KachelX 45092 KachelY + 1 77781 -0.98002198 -0.55592050 -56.151123 -31.851898
    Unten rechts KachelX + 1 45093 KachelY + 1 77781 -0.97997404 -0.55592050 -56.148377 -31.851898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55587978--0.55592050) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55587978--0.55592050) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98002198--0.97997404) × cos(-0.55587978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849436517236074 × 6371000     		do = 259.439776859681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98002198--0.97997404) × cos(-0.55592050) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849415028961592 × 6371000     		du = 259.433213787546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55587978)-sin(-0.55592050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849436517236074-0.849415028961592)×R²
    abs(-0.97997404--0.98002198)×2.14882744822287e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.14882744822287e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.14882744822287e-05×40589641000000     		ar = 67304.8628138492m²