Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45091 / 78169
↖ ↑ ↗
← S 32.752633°
W 56.153869°		 ← 256.81 m → S 32.752633°
W 56.151123°		 →
↑
256.82 m
↓
↑
256.82 m
↓
S 32.754942°
W 56.153869°		 ← 256.81 m →
65 953 m²		 S 32.754942°
W 56.151123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344020843505859 y=0.596385955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344020843505859 × 217)
    floor (0.344020843505859 × 131072)
    floor (45091.5)     		tx = 45091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596385955810547 × 217)
    floor (0.596385955810547 × 131072)
    floor (78169.5)     		ty = 78169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45091 / 78169 ti = "17/45091/78169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45091/78169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45091 ÷ 217
    45091 ÷ 131072     		x = 0.344017028808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78169 ÷ 217
    78169 ÷ 131072     		y = 0.596382141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344017028808594 × 2 - 1) × π
    -0.311965942382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.98006991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596382141113281 × 2 - 1) × π
    -0.192764282226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.605586852900169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98006991} λ = -0.98006991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605586852900169))-π/2
    2×atan(0.545754055293349)-π/2
    2×0.499577525039441-π/2
    0.999155050078882-1.57079632675     		φ = -0.57164128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98006991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.153869°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57164128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.752633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45091 KachelY 78169 -0.98006991 -0.57164128 -56.153869 -32.752633
    Oben rechts KachelX + 1 45092 KachelY 78169 -0.98002198 -0.57164128 -56.151123 -32.752633
    Unten links KachelX 45091 KachelY + 1 78170 -0.98006991 -0.57168159 -56.153869 -32.754942
    Unten rechts KachelX + 1 45092 KachelY + 1 78170 -0.98002198 -0.57168159 -56.151123 -32.754942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57164128--0.57168159) × R
    4.03099999999323e-05 × 6371000     		dl = 256.815009999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57164128--0.57168159) × R
    4.03099999999323e-05 × 6371000     		dr = 256.815009999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98006991--0.98002198) × cos(-0.57164128) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.841014154314782 × 6371000     		do = 256.813789420452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98006991--0.98002198) × cos(-0.57168159) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.84099234539278 × 6371000     		du = 256.807129803758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57164128)-sin(-0.57168159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841014154314782-0.84099234539278)×R²
    abs(-0.98002198--0.98006991)×2.18089220010986e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.18089220010986e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.18089220010986e-05×40589641000000     		ar = 65952.7807620793m²