Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45090 / 94247
↖ ↑ ↗
← S 61.657291°
W 56.156616°		 ← 145 m → S 61.657291°
W 56.153869°		 →
↑
145 m
↓
↑
145 m
↓
S 61.658595°
W 56.156616°		 ← 144.99 m →
21 025 m²		 S 61.658595°
W 56.153869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344013214111328 y=0.719051361083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344013214111328 × 217)
    floor (0.344013214111328 × 131072)
    floor (45090.5)     		tx = 45090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719051361083984 × 217)
    floor (0.719051361083984 × 131072)
    floor (94247.5)     		ty = 94247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45090 / 94247 ti = "17/45090/94247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45090/94247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45090 ÷ 217
    45090 ÷ 131072     		x = 0.344009399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94247 ÷ 217
    94247 ÷ 131072     		y = 0.719047546386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344009399414062 × 2 - 1) × π
    -0.311981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98011785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719047546386719 × 2 - 1) × π
    -0.438095092773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.37631632499143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98011785} λ = -0.98011785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37631632499143))-π/2
    2×atan(0.252506995678919)-π/2
    2×0.247336793081281-π/2
    0.494673586162562-1.57079632675     		φ = -1.07612274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98011785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.156616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07612274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.657291°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45090 KachelY 94247 -0.98011785 -1.07612274 -56.156616 -61.657291
    Oben rechts KachelX + 1 45091 KachelY 94247 -0.98006991 -1.07612274 -56.153869 -61.657291
    Unten links KachelX 45090 KachelY + 1 94248 -0.98011785 -1.07614550 -56.156616 -61.658595
    Unten rechts KachelX + 1 45091 KachelY + 1 94248 -0.98006991 -1.07614550 -56.153869 -61.658595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07612274--1.07614550) × R
    2.27600000000105e-05 × 6371000     		dl = 145.003960000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07612274--1.07614550) × R
    2.27600000000105e-05 × 6371000     		dr = 145.003960000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98011785--0.98006991) × cos(-1.07612274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474744392562822 × 6371000     		do = 144.999157409255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98011785--0.98006991) × cos(-1.07614550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474724360824003 × 6371000     		du = 144.993039200603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07612274)-sin(-1.07614550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474744392562822-0.474724360824003)×R²
    abs(-0.98006991--0.98011785)×2.00317388184268e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00317388184268e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00317388184268e-05×40589641000000     		ar = 21025.0084398082m²