Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45090 / 94239
↖ ↑ ↗
← S 61.646858°
W 56.156616°		 ← 145.05 m → S 61.646858°
W 56.153869°		 →
↑
145 m
↓
↑
145 m
↓
S 61.648162°
W 56.156616°		 ← 145.04 m →
21 032 m²		 S 61.648162°
W 56.153869°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344013214111328 y=0.718990325927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344013214111328 × 217)
    floor (0.344013214111328 × 131072)
    floor (45090.5)     		tx = 45090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718990325927734 × 217)
    floor (0.718990325927734 × 131072)
    floor (94239.5)     		ty = 94239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45090 / 94239 ti = "17/45090/94239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45090/94239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45090 ÷ 217
    45090 ÷ 131072     		x = 0.344009399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94239 ÷ 217
    94239 ÷ 131072     		y = 0.718986511230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344009399414062 × 2 - 1) × π
    -0.311981201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98011785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718986511230469 × 2 - 1) × π
    -0.437973022460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.37593282979447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98011785} λ = -0.98011785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37593282979447))-π/2
    2×atan(0.252603849469255)-π/2
    2×0.24742783954212-π/2
    0.49485567908424-1.57079632675     		φ = -1.07594065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98011785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.156616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07594065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.646858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45090 KachelY 94239 -0.98011785 -1.07594065 -56.156616 -61.646858
    Oben rechts KachelX + 1 45091 KachelY 94239 -0.98006991 -1.07594065 -56.153869 -61.646858
    Unten links KachelX 45090 KachelY + 1 94240 -0.98011785 -1.07596341 -56.156616 -61.648162
    Unten rechts KachelX + 1 45091 KachelY + 1 94240 -0.98006991 -1.07596341 -56.153869 -61.648162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07594065--1.07596341) × R
    2.27600000000105e-05 × 6371000     		dl = 145.003960000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07594065--1.07596341) × R
    2.27600000000105e-05 × 6371000     		dr = 145.003960000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98011785--0.98006991) × cos(-1.07594065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474904646419536 × 6371000     		do = 145.04810306203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98011785--0.98006991) × cos(-1.07596341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474884616648524 × 6371000     		du = 145.041985454397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07594065)-sin(-1.07596341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474904646419536-0.474884616648524)×R²
    abs(-0.98006991--0.98011785)×2.00297710121755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00297710121755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00297710121755e-05×40589641000000     		ar = 21032.1057968355m²