Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4509 / 4918
↖ ↑ ↗
← S 33.943360°
E 18.149414°		 ← 4 053.79 m → S 33.943360°
E 18.193359°		 →
↑
4 052.91 m
↓
↑
4 052.91 m
↓
S 33.979809°
E 18.149414°		 ← 4 052.05 m →
16 426 117 m²		 S 33.979809°
E 18.193359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55047607421875 y=0.60040283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55047607421875 × 213)
    floor (0.55047607421875 × 8192)
    floor (4509.5)     		tx = 4509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.60040283203125 × 213)
    floor (0.60040283203125 × 8192)
    floor (4918.5)     		ty = 4918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4509 / 4918 ti = "13/4509/4918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4509/4918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4509 ÷ 213
    4509 ÷ 8192     		x = 0.5504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4918 ÷ 213
    4918 ÷ 8192     		y = 0.600341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5504150390625 × 2 - 1) × π
    0.100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.31676703
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600341796875 × 2 - 1) × π
    -0.20068359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.630466103802979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31676703} λ = 0.31676703}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630466103802979))-π/2
    2×atan(0.532343615787543)-π/2
    2×0.48918646827624-π/2
    0.978372936552479-1.57079632675     		φ = -0.59242339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31676703} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.149414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59242339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.943360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4509 KachelY 4918 0.31676703 -0.59242339 18.149414 -33.943360
    Oben rechts KachelX + 1 4510 KachelY 4918 0.31753402 -0.59242339 18.193359 -33.943360
    Unten links KachelX 4509 KachelY + 1 4919 0.31676703 -0.59305954 18.149414 -33.979809
    Unten rechts KachelX + 1 4510 KachelY + 1 4919 0.31753402 -0.59305954 18.193359 -33.979809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59242339--0.59305954) × R
    0.000636150000000058 × 6371000     		dl = 4052.91165000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59242339--0.59305954) × R
    0.000636150000000058 × 6371000     		dr = 4052.91165000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31676703-0.31753402) × cos(-0.59242339) × R
    0.000766989999999967 × 0.829589960699599 × 6371000     		do = 4053.78577640978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31676703-0.31753402) × cos(-0.59305954) × R
    0.000766989999999967 × 0.829234583826295 × 6371000     		du = 4052.04922970296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59242339)-sin(-0.59305954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829589960699599-0.829234583826295)×R²
    abs(0.31753402-0.31676703)×0.000355376873304114×R²
    0.000766989999999967×0.000355376873304114×6371000²
    0.000766989999999967×0.000355376873304114×40589641000000     		ar = 16426117.1185803m²