Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45089 / 77868
↖ ↑ ↗
← S 32.054645°
W 56.159363°		 ← 258.86 m → S 32.054645°
W 56.156616°		 →
↑
258.85 m
↓
↑
258.85 m
↓
S 32.056973°
W 56.159363°		 ← 258.85 m →
67 006 m²		 S 32.056973°
W 56.156616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344005584716797 y=0.594089508056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344005584716797 × 217)
    floor (0.344005584716797 × 131072)
    floor (45089.5)     		tx = 45089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594089508056641 × 217)
    floor (0.594089508056641 × 131072)
    floor (77868.5)     		ty = 77868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45089 / 77868 ti = "17/45089/77868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45089/77868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45089 ÷ 217
    45089 ÷ 131072     		x = 0.344001770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77868 ÷ 217
    77868 ÷ 131072     		y = 0.594085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344001770019531 × 2 - 1) × π
    -0.311996459960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.98016579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.18817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.591157846114532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98016579} λ = -0.98016579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.591157846114532))-π/2
    2×atan(0.553685830466026)-π/2
    2×0.505668618201106-π/2
    1.01133723640221-1.57079632675     		φ = -0.55945909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98016579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.159363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55945909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.054645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45089 KachelY 77868 -0.98016579 -0.55945909 -56.159363 -32.054645
    Oben rechts KachelX + 1 45090 KachelY 77868 -0.98011785 -0.55945909 -56.156616 -32.054645
    Unten links KachelX 45089 KachelY + 1 77869 -0.98016579 -0.55949972 -56.159363 -32.056973
    Unten rechts KachelX + 1 45090 KachelY + 1 77869 -0.98011785 -0.55949972 -56.156616 -32.056973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55945909--0.55949972) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dl = 258.853729999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55945909--0.55949972) × R
    4.0629999999986e-05 × 6371000     		dr = 258.853729999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98016579--0.98011785) × cos(-0.55945909) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.847542310979238 × 6371000     		do = 258.861237512574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98016579--0.98011785) × cos(-0.55949972) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.847520746807891 × 6371000     		du = 258.854651259583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55945909)-sin(-0.55949972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847542310979238-0.847520746807891)×R²
    abs(-0.98011785--0.98016579)×2.15641713469106e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.15641713469106e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.15641713469106e-05×40589641000000     		ar = 67006.3444536074m²