Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45089 / 77849
↖ ↑ ↗
← S 32.010405°
W 56.159363°		 ← 258.99 m → S 32.010405°
W 56.156616°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
S 32.012734°
W 56.159363°		 ← 258.98 m →
67 072 m²		 S 32.012734°
W 56.156616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344005584716797 y=0.593944549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344005584716797 × 217)
    floor (0.344005584716797 × 131072)
    floor (45089.5)     		tx = 45089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593944549560547 × 217)
    floor (0.593944549560547 × 131072)
    floor (77849.5)     		ty = 77849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45089 / 77849 ti = "17/45089/77849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45089/77849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45089 ÷ 217
    45089 ÷ 131072     		x = 0.344001770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77849 ÷ 217
    77849 ÷ 131072     		y = 0.593940734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.344001770019531 × 2 - 1) × π
    -0.311996459960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.98016579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593940734863281 × 2 - 1) × π
    -0.187881469726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.590247045021751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98016579} λ = -0.98016579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590247045021751))-π/2
    2×atan(0.554190357852641)-π/2
    2×0.50605468269603-π/2
    1.01210936539206-1.57079632675     		φ = -0.55868696
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98016579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.159363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55868696 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.010405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45089 KachelY 77849 -0.98016579 -0.55868696 -56.159363 -32.010405
    Oben rechts KachelX + 1 45090 KachelY 77849 -0.98011785 -0.55868696 -56.156616 -32.010405
    Unten links KachelX 45089 KachelY + 1 77850 -0.98016579 -0.55872761 -56.159363 -32.012734
    Unten rechts KachelX + 1 45090 KachelY + 1 77850 -0.98011785 -0.55872761 -56.156616 -32.012734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55868696--0.55872761) × R
    4.06500000000865e-05 × 6371000     		dl = 258.981150000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55868696--0.55872761) × R
    4.06500000000865e-05 × 6371000     		dr = 258.981150000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98016579--0.98011785) × cos(-0.55868696) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.847951849173153 × 6371000     		do = 258.986321018509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98016579--0.98011785) × cos(-0.55872761) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.847930300994532 × 6371000     		du = 258.979739650108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55868696)-sin(-0.55872761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847951849173153-0.847930300994532)×R²
    abs(-0.98011785--0.98016579)×2.15481786203231e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.15481786203231e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.15481786203231e-05×40589641000000     		ar = 67071.7230357336m²