Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45088 / 94248
S 61.658595°
W 56.162109°
← 144.96 m → S 61.658595°
W 56.159363°

144.94 m

144.94 m
S 61.659899°
W 56.162109°
← 144.96 m →
21 011 m²
S 61.659899°
W 56.159363°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343997955322266 y=0.719058990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343997955322266 × 217)
    floor (0.343997955322266 × 131072)
    floor (45088.5)
    tx = 45088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719058990478516 × 217)
    floor (0.719058990478516 × 131072)
    floor (94248.5)
    ty = 94248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45088 / 94248 ti = "17/45088/94248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45088/94248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45088 ÷ 217
    45088 ÷ 131072
    x = 0.343994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94248 ÷ 217
    94248 ÷ 131072
    y = 0.71905517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.343994140625 × 2 - 1) × π
    -0.31201171875 × 3.1415926535
    Λ = -0.98021372
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.71905517578125 × 2 - 1) × π
    -0.4381103515625 × 3.1415926535
    Φ = -1.37636426189105
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98021372} λ = -0.98021372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37636426189105))-π/2
    2×atan(0.252494891566533)-π/2
    2×0.247325414434186-π/2
    0.494650828868372-1.57079632675
    φ = -1.07614550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98021372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07614550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.658595°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45088 KachelY 94248 -0.98021372 -1.07614550 -56.162109 -61.658595
    Oben rechts KachelX + 1 45089 KachelY 94248 -0.98016579 -1.07614550 -56.159363 -61.658595
    Unten links KachelX 45088 KachelY + 1 94249 -0.98021372 -1.07616825 -56.162109 -61.659899
    Unten rechts KachelX + 1 45089 KachelY + 1 94249 -0.98016579 -1.07616825 -56.159363 -61.659899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.07614550--1.07616825) × R
    2.27500000000713e-05 × 6371000
    dl = 144.940250000454m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.07614550--1.07616825) × R
    2.27500000000713e-05 × 6371000
    dr = 144.940250000454m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98021372--0.98016579) × cos(-1.07614550) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.474724360824003 × 6371000
    do = 144.962794511423m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98021372--0.98016579) × cos(-1.07616825) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.474704337640723 × 6371000
    du = 144.956680191529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.07614550)-sin(-1.07616825))×
    abs(λ12)×abs(0.474724360824003-0.474704337640723)×
    abs(-0.98016579--0.98021372)×2.00231832807596e-05×
    4.79299999999183e-05×2.00231832807596e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.00231832807596e-05×40589641000000
    ar = 21010.5005724957m²