Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45087 / 95387
↖ ↑ ↗
← S 63.108427°
W 56.164856°		 ← 138.15 m → S 63.108427°
W 56.162109°		 →
↑
138.19 m
↓
↑
138.19 m
↓
S 63.109669°
W 56.164856°		 ← 138.14 m →
19 089 m²		 S 63.109669°
W 56.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95387 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343990325927734 y=0.727748870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343990325927734 × 217)
    floor (0.343990325927734 × 131072)
    floor (45087.5)     		tx = 45087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727748870849609 × 217)
    floor (0.727748870849609 × 131072)
    floor (95387.5)     		ty = 95387
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45087 / 95387 ti = "17/45087/95387"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45087/95387.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45087 ÷ 217
    45087 ÷ 131072     		x = 0.343986511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95387 ÷ 217
    95387 ÷ 131072     		y = 0.727745056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343986511230469 × 2 - 1) × π
    -0.312026977539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.98026166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.727745056152344 × 2 - 1) × π
    -0.455490112304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.4309643905583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98026166} λ = -0.98026166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4309643905583))-π/2
    2×atan(0.239078246227391)-π/2
    2×0.234673246241842-π/2
    0.469346492483684-1.57079632675     		φ = -1.10144983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98026166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.164856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10144983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.108427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45087 KachelY 95387 -0.98026166 -1.10144983 -56.164856 -63.108427
    Oben rechts KachelX + 1 45088 KachelY 95387 -0.98021372 -1.10144983 -56.162109 -63.108427
    Unten links KachelX 45087 KachelY + 1 95388 -0.98026166 -1.10147152 -56.164856 -63.109669
    Unten rechts KachelX + 1 45088 KachelY + 1 95388 -0.98021372 -1.10147152 -56.162109 -63.109669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10144983--1.10147152) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dl = 138.186990000472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10144983--1.10147152) × R
    2.16900000000741e-05 × 6371000     		dr = 138.186990000472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98026166--0.98021372) × cos(-1.10144983) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.452303545980372 × 6371000     		do = 138.145145235909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98026166--0.98021372) × cos(-1.10147152) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.452284201342508 × 6371000     		du = 138.139236885574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10144983)-sin(-1.10147152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452303545980372-0.452284201342508)×R²
    abs(-0.98021372--0.98026166)×1.9344637863794e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.9344637863794e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.9344637863794e-05×40589641000000     		ar = 19089.4535753517m²