Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 45087 / 94250
↖ ↑ ↗
← S 61.661203°
W 56.164856°		 ← 144.98 m → S 61.661203°
W 56.162109°		 →
↑
144.94 m
↓
↑
144.94 m
↓
S 61.662506°
W 56.164856°		 ← 144.97 m →
21 013 m²		 S 61.662506°
W 56.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343990325927734 y=0.719074249267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343990325927734 × 217)
    floor (0.343990325927734 × 131072)
    floor (45087.5)     		tx = 45087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719074249267578 × 217)
    floor (0.719074249267578 × 131072)
    floor (94250.5)     		ty = 94250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45087 / 94250 ti = "17/45087/94250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45087/94250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45087 ÷ 217
    45087 ÷ 131072     		x = 0.343986511230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94250 ÷ 217
    94250 ÷ 131072     		y = 0.719070434570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343986511230469 × 2 - 1) × π
    -0.312026977539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.98026166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719070434570312 × 2 - 1) × π
    -0.438140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37646013569029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98026166} λ = -0.98026166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37646013569029))-π/2
    2×atan(0.252470685082392)-π/2
    2×0.247302658580178-π/2
    0.494605317160357-1.57079632675     		φ = -1.07619101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98026166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.164856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07619101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.661203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45087 KachelY 94250 -0.98026166 -1.07619101 -56.164856 -61.661203
    Oben rechts KachelX + 1 45088 KachelY 94250 -0.98021372 -1.07619101 -56.162109 -61.661203
    Unten links KachelX 45087 KachelY + 1 94251 -0.98026166 -1.07621376 -56.164856 -61.662506
    Unten rechts KachelX + 1 45088 KachelY + 1 94251 -0.98021372 -1.07621376 -56.162109 -61.662506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07619101--1.07621376) × R
    2.27499999998493e-05 × 6371000     		dl = 144.94024999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07619101--1.07621376) × R
    2.27499999998493e-05 × 6371000     		dr = 144.94024999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98026166--0.98021372) × cos(-1.07619101) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.474684305410191 × 6371000     		do = 144.980805246534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98026166--0.98021372) × cos(-1.07621376) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.474664281735435 × 6371000     		du = 144.974689500854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07619101)-sin(-1.07621376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474684305410191-0.474664281735435)×R²
    abs(-0.98021372--0.98026166)×2.00236747565641e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00236747565641e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00236747565641e-05×40589641000000     		ar = 21013.1109495605m²