Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45086 / 95212
↖ ↑ ↗
← S 62.890212°
W 56.167603°		 ← 139.18 m → S 62.890212°
W 56.164856°		 →
↑
139.14 m
↓
↑
139.14 m
↓
S 62.891463°
W 56.167603°		 ← 139.18 m →
19 366 m²		 S 62.891463°
W 56.164856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343982696533203 y=0.726413726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343982696533203 × 217)
    floor (0.343982696533203 × 131072)
    floor (45086.5)     		tx = 45086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.726413726806641 × 217)
    floor (0.726413726806641 × 131072)
    floor (95212.5)     		ty = 95212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45086 / 95212 ti = "17/45086/95212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45086/95212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45086 ÷ 217
    45086 ÷ 131072     		x = 0.343978881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95212 ÷ 217
    95212 ÷ 131072     		y = 0.726409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.312042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98030960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.726409912109375 × 2 - 1) × π
    -0.45281982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.42257543312479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98030960} λ = -0.98030960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42257543312479))-π/2
    2×atan(0.241092299550566)-π/2
    2×0.236577534121532-π/2
    0.473155068243063-1.57079632675     		φ = -1.09764126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98030960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.167603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09764126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.890212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45086 KachelY 95212 -0.98030960 -1.09764126 -56.167603 -62.890212
    Oben rechts KachelX + 1 45087 KachelY 95212 -0.98026166 -1.09764126 -56.164856 -62.890212
    Unten links KachelX 45086 KachelY + 1 95213 -0.98030960 -1.09766310 -56.167603 -62.891463
    Unten rechts KachelX + 1 45087 KachelY + 1 95213 -0.98026166 -1.09766310 -56.164856 -62.891463
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09764126--1.09766310) × R
    2.18399999998287e-05 × 6371000     		dl = 139.142639998908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09764126--1.09766310) × R
    2.18399999998287e-05 × 6371000     		dr = 139.142639998908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98030960--0.98026166) × cos(-1.09764126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455696984099358 × 6371000     		do = 139.181588584223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98030960--0.98026166) × cos(-1.09766310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.455677543443009 × 6371000     		du = 139.175650907372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09764126)-sin(-1.09766310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455696984099358-0.455677543443009)×R²
    abs(-0.98026166--0.98030960)×1.94406563482907e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.94406563482907e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.94406563482907e-05×40589641000000     		ar = 19365.6805834739m²