Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45086 / 94253
↖ ↑ ↗
← S 61.665114°
W 56.167603°		 ← 144.96 m → S 61.665114°
W 56.164856°		 →
↑
144.94 m
↓
↑
144.94 m
↓
S 61.666417°
W 56.167603°		 ← 144.96 m →
21 010 m²		 S 61.666417°
W 56.164856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94253 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343982696533203 y=0.719097137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343982696533203 × 217)
    floor (0.343982696533203 × 131072)
    floor (45086.5)     		tx = 45086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719097137451172 × 217)
    floor (0.719097137451172 × 131072)
    floor (94253.5)     		ty = 94253
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45086 / 94253 ti = "17/45086/94253"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45086/94253.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45086 ÷ 217
    45086 ÷ 131072     		x = 0.343978881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94253 ÷ 217
    94253 ÷ 131072     		y = 0.719093322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343978881835938 × 2 - 1) × π
    -0.312042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.98030960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719093322753906 × 2 - 1) × π
    -0.438186645507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.37660394638915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98030960} λ = -0.98030960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37660394638915))-π/2
    2×atan(0.252434379707342)-π/2
    2×0.247268528399406-π/2
    0.494537056798813-1.57079632675     		φ = -1.07625927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98030960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.167603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07625927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.665114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45086 KachelY 94253 -0.98030960 -1.07625927 -56.167603 -61.665114
    Oben rechts KachelX + 1 45087 KachelY 94253 -0.98026166 -1.07625927 -56.164856 -61.665114
    Unten links KachelX 45086 KachelY + 1 94254 -0.98030960 -1.07628202 -56.167603 -61.666417
    Unten rechts KachelX + 1 45087 KachelY + 1 94254 -0.98026166 -1.07628202 -56.164856 -61.666417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07625927--1.07628202) × R
    2.27500000000713e-05 × 6371000     		dl = 144.940250000454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07625927--1.07628202) × R
    2.27500000000713e-05 × 6371000     		dr = 144.940250000454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98030960--0.98026166) × cos(-1.07625927) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474624224847041 × 6371000     		do = 144.962455095739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98030960--0.98026166) × cos(-1.07628202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474604200435202 × 6371000     		du = 144.956339124935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07625927)-sin(-1.07628202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474624224847041-0.474604200435202)×R²
    abs(-0.98026166--0.98030960)×2.00244118389037e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00244118389037e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00244118389037e-05×40589641000000     		ar = 21010.4512580183m²