Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45085 / 77829
↖ ↑ ↗
← S 31.963814°
W 56.170349°		 ← 259.06 m → S 31.963814°
W 56.167603°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
S 31.966144°
W 56.170349°		 ← 259.06 m →
67 125 m²		 S 31.966144°
W 56.167603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343975067138672 y=0.593791961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343975067138672 × 217)
    floor (0.343975067138672 × 131072)
    floor (45085.5)     		tx = 45085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593791961669922 × 217)
    floor (0.593791961669922 × 131072)
    floor (77829.5)     		ty = 77829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45085 / 77829 ti = "17/45085/77829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45085/77829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45085 ÷ 217
    45085 ÷ 131072     		x = 0.343971252441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77829 ÷ 217
    77829 ÷ 131072     		y = 0.593788146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343971252441406 × 2 - 1) × π
    -0.312057495117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.98035753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593788146972656 × 2 - 1) × π
    -0.187576293945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.58928830702935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98035753} λ = -0.98035753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58928830702935))-π/2
    2×atan(0.554721935985095)-π/2
    2×0.506461267782445-π/2
    1.01292253556489-1.57079632675     		φ = -0.55787379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98035753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.170349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55787379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.963814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45085 KachelY 77829 -0.98035753 -0.55787379 -56.170349 -31.963814
    Oben rechts KachelX + 1 45086 KachelY 77829 -0.98030960 -0.55787379 -56.167603 -31.963814
    Unten links KachelX 45085 KachelY + 1 77830 -0.98035753 -0.55791446 -56.170349 -31.966144
    Unten rechts KachelX + 1 45086 KachelY + 1 77830 -0.98030960 -0.55791446 -56.167603 -31.966144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55787379--0.55791446) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dl = 259.108569999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55787379--0.55791446) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dr = 259.108569999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98035753--0.98030960) × cos(-0.55787379) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.848382608446744 × 6371000     		do = 259.063835532152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98035753--0.98030960) × cos(-0.55791446) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.848361077715882 × 6371000     		du = 259.057260864468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55787379)-sin(-0.55791446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848382608446744-0.848361077715882)×R²
    abs(-0.98030960--0.98035753)×2.15307308620849e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.15307308620849e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.15307308620849e-05×40589641000000     		ar = 67124.8081964219m²