Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45084 / 78124
↖ ↑ ↗
← S 32.648626°
W 56.173096°		 ← 257.17 m → S 32.648626°
W 56.170349°		 →
↑
257.13 m
↓
↑
257.13 m
↓
S 32.650938°
W 56.173096°		 ← 257.16 m →
66 125 m²		 S 32.650938°
W 56.170349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343967437744141 y=0.596042633056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343967437744141 × 217)
    floor (0.343967437744141 × 131072)
    floor (45084.5)     		tx = 45084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596042633056641 × 217)
    floor (0.596042633056641 × 131072)
    floor (78124.5)     		ty = 78124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45084 / 78124 ti = "17/45084/78124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45084/78124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45084 ÷ 217
    45084 ÷ 131072     		x = 0.343963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78124 ÷ 217
    78124 ÷ 131072     		y = 0.596038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.31207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98040547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596038818359375 × 2 - 1) × π
    -0.19207763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.603429692417267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98040547} λ = -0.98040547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.603429692417267))-π/2
    2×atan(0.546932605078307)-π/2
    2×0.500485155315849-π/2
    1.0009703106317-1.57079632675     		φ = -0.56982602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98040547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.173096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56982602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.648626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45084 KachelY 78124 -0.98040547 -0.56982602 -56.173096 -32.648626
    Oben rechts KachelX + 1 45085 KachelY 78124 -0.98035753 -0.56982602 -56.170349 -32.648626
    Unten links KachelX 45084 KachelY + 1 78125 -0.98040547 -0.56986638 -56.173096 -32.650938
    Unten rechts KachelX + 1 45085 KachelY + 1 78125 -0.98035753 -0.56986638 -56.170349 -32.650938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56982602--0.56986638) × R
    4.03599999999615e-05 × 6371000     		dl = 257.133559999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56982602--0.56986638) × R
    4.03599999999615e-05 × 6371000     		dr = 257.133559999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98040547--0.98035753) × cos(-0.56982602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841994847603867 × 6371000     		do = 257.166899405429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98040547--0.98035753) × cos(-0.56986638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841973073280628 × 6371000     		du = 257.160248966641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56982602)-sin(-0.56986638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841994847603867-0.841973073280628)×R²
    abs(-0.98035753--0.98040547)×2.1774323238688e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1774323238688e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1774323238688e-05×40589641000000     		ar = 66125.3853417814m²