Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45079 / 77767
↖ ↑ ↗
← S 31.819231°
W 56.186829°		 ← 259.53 m → S 31.819231°
W 56.184082°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
S 31.821564°
W 56.186829°		 ← 259.52 m →
67 344 m²		 S 31.821564°
W 56.184082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343929290771484 y=0.593318939208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343929290771484 × 217)
    floor (0.343929290771484 × 131072)
    floor (45079.5)     		tx = 45079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593318939208984 × 217)
    floor (0.593318939208984 × 131072)
    floor (77767.5)     		ty = 77767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45079 / 77767 ti = "17/45079/77767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45079/77767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45079 ÷ 217
    45079 ÷ 131072     		x = 0.343925476074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77767 ÷ 217
    77767 ÷ 131072     		y = 0.593315124511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343925476074219 × 2 - 1) × π
    -0.312149047851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.98064516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593315124511719 × 2 - 1) × π
    -0.186630249023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.586316219252907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98064516} λ = -0.98064516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.586316219252907))-π/2
    2×atan(0.556373070713618)-π/2
    2×0.507722992556588-π/2
    1.01544598511318-1.57079632675     		φ = -0.55535034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98064516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.186829°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55535034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.819231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45079 KachelY 77767 -0.98064516 -0.55535034 -56.186829 -31.819231
    Oben rechts KachelX + 1 45080 KachelY 77767 -0.98059722 -0.55535034 -56.184082 -31.819231
    Unten links KachelX 45079 KachelY + 1 77768 -0.98064516 -0.55539107 -56.186829 -31.821564
    Unten rechts KachelX + 1 45080 KachelY + 1 77768 -0.98059722 -0.55539107 -56.184082 -31.821564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55535034--0.55539107) × R
    4.07299999999333e-05 × 6371000     		dl = 259.490829999575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55535034--0.55539107) × R
    4.07299999999333e-05 × 6371000     		dr = 259.490829999575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98064516--0.98059722) × cos(-0.55535034) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849715778800226 × 6371000     		do = 259.525070529565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98064516--0.98059722) × cos(-0.55539107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849694303568596 × 6371000     		du = 259.518511441053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55535034)-sin(-0.55539107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849715778800226-0.849694303568596)×R²
    abs(-0.98059722--0.98064516)×2.1475231629986e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1475231629986e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1475231629986e-05×40589641000000     		ar = 67343.5249551018m²