Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45078 / 12313
↖ ↑ ↗
← N 73.981692°
E 67.620850°		 ← 168.54 m → N 73.981692°
E 67.626343°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
N 73.980176°
E 67.620850°		 ← 168.56 m →
28 414 m²		 N 73.980176°
E 67.626343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687843322753906 y=0.187889099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687843322753906 × 216)
    floor (0.687843322753906 × 65536)
    floor (45078.5)     		tx = 45078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187889099121094 × 216)
    floor (0.187889099121094 × 65536)
    floor (12313.5)     		ty = 12313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45078 / 12313 ti = "16/45078/12313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45078/12313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45078 ÷ 216
    45078 ÷ 65536     		x = 0.687835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12313 ÷ 216
    12313 ÷ 65536     		y = 0.187881469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687835693359375 × 2 - 1) × π
    0.37567138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18020647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187881469726562 × 2 - 1) × π
    0.624237060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9610985634565
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18020647} λ = 1.18020647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9610985634565))-π/2
    2×atan(7.10713041188713)-π/2
    2×1.43101021675543-π/2
    2.86202043351086-1.57079632675     		φ = 1.29122411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18020647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.620850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29122411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.981692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45078 KachelY 12313 1.18020647 1.29122411 67.620850 73.981692
    Oben rechts KachelX + 1 45079 KachelY 12313 1.18030234 1.29122411 67.626343 73.981692
    Unten links KachelX 45078 KachelY + 1 12314 1.18020647 1.29119765 67.620850 73.980176
    Unten rechts KachelX + 1 45079 KachelY + 1 12314 1.18030234 1.29119765 67.626343 73.980176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29122411-1.29119765) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dl = 168.576659999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29122411-1.29119765) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dr = 168.576659999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18020647-1.18030234) × cos(1.29122411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.27594449991464 × 6371000     		do = 168.543525746625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18020647-1.18030234) × cos(1.29119765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275969932470719 × 6371000     		du = 168.559059640837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29122411)-sin(1.29119765))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.27594449991464-0.275969932470719)×R²
    abs(1.18030234-1.18020647)×2.54325560783419e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54325560783419e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54325560783419e-05×40589641000000     		ar = 28413.8139624851m²