Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45078 / 12311
↖ ↑ ↗
← N 73.984723°
E 67.620850°		 ← 168.51 m → N 73.984723°
E 67.626343°		 →
↑
168.51 m
↓
↑
168.51 m
↓
N 73.983207°
E 67.620850°		 ← 168.53 m →
28 398 m²		 N 73.983207°
E 67.626343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687843322753906 y=0.187858581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687843322753906 × 216)
    floor (0.687843322753906 × 65536)
    floor (45078.5)     		tx = 45078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187858581542969 × 216)
    floor (0.187858581542969 × 65536)
    floor (12311.5)     		ty = 12311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45078 / 12311 ti = "16/45078/12311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45078/12311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45078 ÷ 216
    45078 ÷ 65536     		x = 0.687835693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12311 ÷ 216
    12311 ÷ 65536     		y = 0.187850952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687835693359375 × 2 - 1) × π
    0.37567138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.18020647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187850952148438 × 2 - 1) × π
    0.624298095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.96129031105498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.18020647} λ = 1.18020647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96129031105498))-π/2
    2×atan(7.10849331773848)-π/2
    2×1.43103667016551-π/2
    2.86207334033103-1.57079632675     		φ = 1.29127701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.18020647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.620850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29127701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.984723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45078 KachelY 12311 1.18020647 1.29127701 67.620850 73.984723
    Oben rechts KachelX + 1 45079 KachelY 12311 1.18030234 1.29127701 67.626343 73.984723
    Unten links KachelX 45078 KachelY + 1 12312 1.18020647 1.29125056 67.620850 73.983207
    Unten rechts KachelX + 1 45079 KachelY + 1 12312 1.18030234 1.29125056 67.626343 73.983207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29127701-1.29125056) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dl = 168.512950000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29127701-1.29125056) × R
    2.64500000000112e-05 × 6371000     		dr = 168.512950000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.18020647-1.18030234) × cos(1.29127701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275893653446672 × 6371000     		do = 168.512469345842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.18020647-1.18030234) × cos(1.29125056) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275919076777173 × 6371000     		du = 168.527997605185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29127701)-sin(1.29125056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275893653446672-0.275919076777173)×R²
    abs(1.18030234-1.18020647)×2.54233305008178e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54233305008178e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54233305008178e-05×40589641000000     		ar = 28397.8416796473m²