Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45077 / 77839
↖ ↑ ↗
← S 31.987112°
W 56.192322°		 ← 259.05 m → S 31.987112°
W 56.189575°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
S 31.989442°
W 56.192322°		 ← 259.05 m →
67 105 m²		 S 31.989442°
W 56.189575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343914031982422 y=0.593868255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343914031982422 × 217)
    floor (0.343914031982422 × 131072)
    floor (45077.5)     		tx = 45077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593868255615234 × 217)
    floor (0.593868255615234 × 131072)
    floor (77839.5)     		ty = 77839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45077 / 77839 ti = "17/45077/77839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45077/77839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45077 ÷ 217
    45077 ÷ 131072     		x = 0.343910217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77839 ÷ 217
    77839 ÷ 131072     		y = 0.593864440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343910217285156 × 2 - 1) × π
    -0.312179565429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.98074103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593864440917969 × 2 - 1) × π
    -0.187728881835938 × 3.1415926535     		Φ = -0.589767676025551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98074103} λ = -0.98074103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.589767676025551))-π/2
    2×atan(0.55445608321335)-π/2
    2×0.50625794942765-π/2
    1.0125158988553-1.57079632675     		φ = -0.55828043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98074103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.192322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55828043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.987112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45077 KachelY 77839 -0.98074103 -0.55828043 -56.192322 -31.987112
    Oben rechts KachelX + 1 45078 KachelY 77839 -0.98069309 -0.55828043 -56.189575 -31.987112
    Unten links KachelX 45077 KachelY + 1 77840 -0.98074103 -0.55832109 -56.192322 -31.989442
    Unten rechts KachelX + 1 45078 KachelY + 1 77840 -0.98069309 -0.55832109 -56.189575 -31.989442
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55828043--0.55832109) × R
    4.06599999999147e-05 × 6371000     		dl = 259.044859999456m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55828043--0.55832109) × R
    4.06599999999147e-05 × 6371000     		dr = 259.044859999456m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98074103--0.98069309) × cos(-0.55828043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848167269780727 × 6371000     		do = 259.052116016388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98074103--0.98069309) × cos(-0.55832109) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848145730318861 × 6371000     		du = 259.045537310309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55828043)-sin(-0.55832109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848167269780727-0.848145730318861)×R²
    abs(-0.98069309--0.98074103)×2.15394618665599e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15394618665599e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15394618665599e-05×40589641000000     		ar = 67105.2670452686m²