Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45076 / 77845
↖ ↑ ↗
← S 32.001089°
W 56.195069°		 ← 259.01 m → S 32.001089°
W 56.192322°		 →
↑
258.98 m
↓
↑
258.98 m
↓
S 32.003418°
W 56.195069°		 ← 259.01 m →
67 079 m²		 S 32.003418°
W 56.192322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343906402587891 y=0.593914031982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343906402587891 × 217)
    floor (0.343906402587891 × 131072)
    floor (45076.5)     		tx = 45076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593914031982422 × 217)
    floor (0.593914031982422 × 131072)
    floor (77845.5)     		ty = 77845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45076 / 77845 ti = "17/45076/77845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45076/77845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45076 ÷ 217
    45076 ÷ 131072     		x = 0.343902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77845 ÷ 217
    77845 ÷ 131072     		y = 0.593910217285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.31219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98078897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593910217285156 × 2 - 1) × π
    -0.187820434570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.590055297423271
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98078897} λ = -0.98078897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.590055297423271))-π/2
    2×atan(0.554296632711509)-π/2
    2×0.506135983192585-π/2
    1.01227196638517-1.57079632675     		φ = -0.55852436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98078897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.195069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55852436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.001089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45076 KachelY 77845 -0.98078897 -0.55852436 -56.195069 -32.001089
    Oben rechts KachelX + 1 45077 KachelY 77845 -0.98074103 -0.55852436 -56.192322 -32.001089
    Unten links KachelX 45076 KachelY + 1 77846 -0.98078897 -0.55856501 -56.195069 -32.003418
    Unten rechts KachelX + 1 45077 KachelY + 1 77846 -0.98074103 -0.55856501 -56.192322 -32.003418
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55852436--0.55856501) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dl = 258.981149999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55852436--0.55856501) × R
    4.06499999999754e-05 × 6371000     		dr = 258.981149999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98078897--0.98074103) × cos(-0.55852436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848038027875531 × 6371000     		do = 259.012642211855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98078897--0.98074103) × cos(-0.55856501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.848016485301823 × 6371000     		du = 259.006062555338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55852436)-sin(-0.55856501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848038027875531-0.848016485301823)×R²
    abs(-0.98074103--0.98078897)×2.1542573707789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.1542573707789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.1542573707789e-05×40589641000000     		ar = 67078.539950213m²