Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45074 / 77798
↖ ↑ ↗
← S 31.891551°
W 56.200562°		 ← 259.32 m → S 31.891551°
W 56.197815°		 →
↑
259.30 m
↓
↑
259.30 m
↓
S 31.893882°
W 56.200562°		 ← 259.32 m →
67 241 m²		 S 31.893882°
W 56.197815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343891143798828 y=0.593555450439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343891143798828 × 217)
    floor (0.343891143798828 × 131072)
    floor (45074.5)     		tx = 45074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593555450439453 × 217)
    floor (0.593555450439453 × 131072)
    floor (77798.5)     		ty = 77798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45074 / 77798 ti = "17/45074/77798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45074/77798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45074 ÷ 217
    45074 ÷ 131072     		x = 0.343887329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77798 ÷ 217
    77798 ÷ 131072     		y = 0.593551635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343887329101562 × 2 - 1) × π
    -0.312225341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98088484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593551635742188 × 2 - 1) × π
    -0.187103271484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.587802263141129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98088484} λ = -0.98088484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587802263141129))-π/2
    2×atan(0.555546889934801)-π/2
    2×0.507091882525702-π/2
    1.0141837650514-1.57079632675     		φ = -0.55661256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98088484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.200562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55661256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.891551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45074 KachelY 77798 -0.98088484 -0.55661256 -56.200562 -31.891551
    Oben rechts KachelX + 1 45075 KachelY 77798 -0.98083690 -0.55661256 -56.197815 -31.891551
    Unten links KachelX 45074 KachelY + 1 77799 -0.98088484 -0.55665326 -56.200562 -31.893882
    Unten rechts KachelX + 1 45075 KachelY + 1 77799 -0.98083690 -0.55665326 -56.197815 -31.893882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55661256--0.55665326) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dl = 259.299700000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55661256--0.55665326) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dr = 259.299700000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98088484--0.98083690) × cos(-0.55661256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84904960793096 × 6371000     		do = 259.321604798853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98088484--0.98083690) × cos(-0.55665326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.849028104883356 × 6371000     		du = 259.315037214626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55661256)-sin(-0.55665326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84904960793096-0.849028104883356)×R²
    abs(-0.98083690--0.98088484)×2.15030476039546e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15030476039546e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15030476039546e-05×40589641000000     		ar = 67241.1628507671m²