Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45072 / 12353
↖ ↑ ↗
← N 73.920947°
E 67.587891°		 ← 169.17 m → N 73.920947°
E 67.593384°		 →
↑
169.15 m
↓
↑
169.15 m
↓
N 73.919426°
E 67.587891°		 ← 169.18 m →
28 616 m²		 N 73.919426°
E 67.593384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687751770019531 y=0.188499450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687751770019531 × 216)
    floor (0.687751770019531 × 65536)
    floor (45072.5)     		tx = 45072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188499450683594 × 216)
    floor (0.188499450683594 × 65536)
    floor (12353.5)     		ty = 12353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45072 / 12353 ti = "16/45072/12353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45072/12353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45072 ÷ 216
    45072 ÷ 65536     		x = 0.687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12353 ÷ 216
    12353 ÷ 65536     		y = 0.188491821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687744140625 × 2 - 1) × π
    0.37548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17963123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188491821289062 × 2 - 1) × π
    0.623016357421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.95726361148689
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17963123} λ = 1.17963123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95726361148689))-π/2
    2×atan(7.07992710314663)-π/2
    2×1.43048012352061-π/2
    2.86096024704122-1.57079632675     		φ = 1.29016392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17963123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.587891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29016392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.920947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45072 KachelY 12353 1.17963123 1.29016392 67.587891 73.920947
    Oben rechts KachelX + 1 45073 KachelY 12353 1.17972710 1.29016392 67.593384 73.920947
    Unten links KachelX 45072 KachelY + 1 12354 1.17963123 1.29013737 67.587891 73.919426
    Unten rechts KachelX + 1 45073 KachelY + 1 12354 1.17972710 1.29013737 67.593384 73.919426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29016392-1.29013737) × R
    2.65499999998475e-05 × 6371000     		dl = 169.150049999029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29016392-1.29013737) × R
    2.65499999998475e-05 × 6371000     		dr = 169.150049999029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17963123-1.17972710) × cos(1.29016392) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276963371250452 × 6371000     		do = 169.165839897742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17963123-1.17972710) × cos(1.29013737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276988882529496 × 6371000     		du = 169.181421874979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29016392)-sin(1.29013737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276963371250452-0.276988882529496)×R²
    abs(1.17972710-1.17963123)×2.55112790438217e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.55112790438217e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.55112790438217e-05×40589641000000     		ar = 28615.7281246853m²