Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45071 / 12350
↖ ↑ ↗
← N 73.925511°
E 67.582397°		 ← 169.14 m → N 73.925511°
E 67.587891°		 →
↑
169.15 m
↓
↑
169.15 m
↓
N 73.923990°
E 67.582397°		 ← 169.15 m →
28 611 m²		 N 73.923990°
E 67.587891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687736511230469 y=0.188453674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687736511230469 × 216)
    floor (0.687736511230469 × 65536)
    floor (45071.5)     		tx = 45071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188453674316406 × 216)
    floor (0.188453674316406 × 65536)
    floor (12350.5)     		ty = 12350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45071 / 12350 ti = "16/45071/12350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45071/12350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45071 ÷ 216
    45071 ÷ 65536     		x = 0.687728881835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12350 ÷ 216
    12350 ÷ 65536     		y = 0.188446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687728881835938 × 2 - 1) × π
    0.375457763671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17953535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188446044921875 × 2 - 1) × π
    0.62310791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95755123288461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17953535} λ = 1.17953535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95755123288461))-π/2
    2×atan(7.08196373455114)-π/2
    2×1.43051994831307-π/2
    2.86103989662615-1.57079632675     		φ = 1.29024357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17953535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.582397°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29024357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.925511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45071 KachelY 12350 1.17953535 1.29024357 67.582397 73.925511
    Oben rechts KachelX + 1 45072 KachelY 12350 1.17963123 1.29024357 67.587891 73.925511
    Unten links KachelX 45071 KachelY + 1 12351 1.17953535 1.29021702 67.582397 73.923990
    Unten rechts KachelX + 1 45072 KachelY + 1 12351 1.17963123 1.29021702 67.587891 73.923990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29024357-1.29021702) × R
    2.65499999998475e-05 × 6371000     		dl = 169.150049999029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29024357-1.29021702) × R
    2.65499999998475e-05 × 6371000     		dr = 169.150049999029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17953535-1.17963123) × cos(1.29024357) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.276886836241999 × 6371000     		do = 169.136733710832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17953535-1.17963123) × cos(1.29021702) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.276912348106685 × 6371000     		du = 169.152317671133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29024357)-sin(1.29021702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276886836241999-0.276912348106685)×R²
    abs(1.17963123-1.17953535)×2.55118646864116e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.55118646864116e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.55118646864116e-05×40589641000000     		ar = 28610.804979502m²