Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 4507 / 4913
↖ ↑ ↗
← S 33.760882°
E 18.061523°		 ← 4 062.45 m → S 33.760882°
E 18.105469°		 →
↑
4 061.58 m
↓
↑
4 061.58 m
↓
S 33.797409°
E 18.061523°		 ← 4 060.72 m →
16 496 454 m²		 S 33.797409°
E 18.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55023193359375 y=0.59979248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55023193359375 × 213)
    floor (0.55023193359375 × 8192)
    floor (4507.5)     		tx = 4507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59979248046875 × 213)
    floor (0.59979248046875 × 8192)
    floor (4913.5)     		ty = 4913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4507 / 4913 ti = "13/4507/4913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4507/4913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4507 ÷ 213
    4507 ÷ 8192     		x = 0.5501708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4913 ÷ 213
    4913 ÷ 8192     		y = 0.5997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5501708984375 × 2 - 1) × π
    0.100341796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.31523305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.199462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.626631151833374
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31523305} λ = 0.31523305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.626631151833374))-π/2
    2×atan(0.534389047544865)-π/2
    2×0.490778888758664-π/2
    0.981557777517328-1.57079632675     		φ = -0.58923855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31523305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.061523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58923855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.760882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4507 KachelY 4913 0.31523305 -0.58923855 18.061523 -33.760882
    Oben rechts KachelX + 1 4508 KachelY 4913 0.31600004 -0.58923855 18.105469 -33.760882
    Unten links KachelX 4507 KachelY + 1 4914 0.31523305 -0.58987606 18.061523 -33.797409
    Unten rechts KachelX + 1 4508 KachelY + 1 4914 0.31600004 -0.58987606 18.105469 -33.797409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58923855--0.58987606) × R
    0.000637510000000008 × 6371000     		dl = 4061.57621000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58923855--0.58987606) × R
    0.000637510000000008 × 6371000     		dr = 4061.57621000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31523305-0.31600004) × cos(-0.58923855) × R
    0.000766989999999967 × 0.831364079267895 × 6371000     		do = 4062.45499488943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31523305-0.31600004) × cos(-0.58987606) × R
    0.000766989999999967 × 0.831009628103076 × 6371000     		du = 4060.7229716509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58923855)-sin(-0.58987606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.831364079267895-0.831009628103076)×R²
    abs(0.31600004-0.31523305)×0.000354451164819913×R²
    0.000766989999999967×0.000354451164819913×6371000²
    0.000766989999999967×0.000354451164819913×40589641000000     		ar = 16496453.7479537m²