Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4507 / 13120
↖ ↑ ↗
← S 72.816073°
W 80.969238°		 ← 721.82 m → S 72.816073°
W 80.947266°		 →
↑
721.71 m
↓
↑
721.71 m
↓
S 72.822564°
W 80.969238°		 ← 721.56 m →
520 850 m²		 S 72.822564°
W 80.947266°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275115966796875 y=0.800811767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275115966796875 × 214)
    floor (0.275115966796875 × 16384)
    floor (4507.5)     		tx = 4507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800811767578125 × 214)
    floor (0.800811767578125 × 16384)
    floor (13120.5)     		ty = 13120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4507 / 13120 ti = "14/4507/13120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4507/13120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4507 ÷ 214
    4507 ÷ 16384     		x = 0.27508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13120 ÷ 214
    13120 ÷ 16384     		y = 0.80078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27508544921875 × 2 - 1) × π
    -0.4498291015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.41317980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80078125 × 2 - 1) × π
    -0.6015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.88986433062109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41317980} λ = -1.41317980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88986433062109))-π/2
    2×atan(0.151092306045236)-π/2
    2×0.14995804602153-π/2
    0.29991609204306-1.57079632675     		φ = -1.27088023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41317980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.969238°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27088023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.816073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4507 KachelY 13120 -1.41317980 -1.27088023 -80.969238 -72.816073
    Oben rechts KachelX + 1 4508 KachelY 13120 -1.41279631 -1.27088023 -80.947266 -72.816073
    Unten links KachelX 4507 KachelY + 1 13121 -1.41317980 -1.27099351 -80.969238 -72.822564
    Unten rechts KachelX + 1 4508 KachelY + 1 13121 -1.41279631 -1.27099351 -80.947266 -72.822564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27088023--1.27099351) × R
    0.000113280000000104 × 6371000     		dl = 721.706880000665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27088023--1.27099351) × R
    0.000113280000000104 × 6371000     		dr = 721.706880000665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41317980--1.41279631) × cos(-1.27088023) × R
    0.000383489999999931 × 0.29544004982785 × 6371000     		do = 721.82349929761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41317980--1.41279631) × cos(-1.27099351) × R
    0.000383489999999931 × 0.29533182460659 × 6371000     		du = 721.559081836376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27088023)-sin(-1.27099351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29544004982785-0.29533182460659)×R²
    abs(-1.41279631--1.41317980)×0.000108225221260194×R²
    0.000383489999999931×0.000108225221260194×6371000²
    0.000383489999999931×0.000108225221260194×40589641000000     		ar = 520849.570196606m²