Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45066 / 77874
↖ ↑ ↗
← S 32.068611°
W 56.222534°		 ← 258.82 m → S 32.068611°
W 56.219788°		 →
↑
258.79 m
↓
↑
258.79 m
↓
S 32.070938°
W 56.222534°		 ← 258.82 m →
66 980 m²		 S 32.070938°
W 56.219788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343830108642578 y=0.594135284423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343830108642578 × 217)
    floor (0.343830108642578 × 131072)
    floor (45066.5)     		tx = 45066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594135284423828 × 217)
    floor (0.594135284423828 × 131072)
    floor (77874.5)     		ty = 77874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45066 / 77874 ti = "17/45066/77874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45066/77874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45066 ÷ 217
    45066 ÷ 131072     		x = 0.343826293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77874 ÷ 217
    77874 ÷ 131072     		y = 0.594131469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343826293945312 × 2 - 1) × π
    -0.312347412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.98126834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594131469726562 × 2 - 1) × π
    -0.188262939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.591445467512253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98126834} λ = -0.98126834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.591445467512253))-π/2
    2×atan(0.553526601473499)-π/2
    2×0.505546741852657-π/2
    1.01109348370531-1.57079632675     		φ = -0.55970284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98126834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.222534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55970284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.068611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45066 KachelY 77874 -0.98126834 -0.55970284 -56.222534 -32.068611
    Oben rechts KachelX + 1 45067 KachelY 77874 -0.98122040 -0.55970284 -56.219788 -32.068611
    Unten links KachelX 45066 KachelY + 1 77875 -0.98126834 -0.55974346 -56.222534 -32.070938
    Unten rechts KachelX + 1 45067 KachelY + 1 77875 -0.98122040 -0.55974346 -56.219788 -32.070938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55970284--0.55974346) × R
    4.06199999999357e-05 × 6371000     		dl = 258.79001999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55970284--0.55974346) × R
    4.06199999999357e-05 × 6371000     		dr = 258.79001999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98126834--0.98122040) × cos(-0.55970284) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847412920893632 × 6371000     		do = 258.821718449329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98126834--0.98122040) × cos(-0.55974346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847391353639033 × 6371000     		du = 258.815131254634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55970284)-sin(-0.55974346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847412920893632-0.847391353639033)×R²
    abs(-0.98122040--0.98126834)×2.15672545993417e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15672545993417e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15672545993417e-05×40589641000000     		ar = 66979.6253527598m²