Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45066 / 12358
↖ ↑ ↗
← N 73.913339°
E 67.554931°		 ← 169.26 m → N 73.913339°
E 67.560425°		 →
↑
169.21 m
↓
↑
169.21 m
↓
N 73.911817°
E 67.554931°		 ← 169.28 m →
28 643 m²		 N 73.911817°
E 67.560425°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687660217285156 y=0.188575744628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687660217285156 × 216)
    floor (0.687660217285156 × 65536)
    floor (45066.5)     		tx = 45066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188575744628906 × 216)
    floor (0.188575744628906 × 65536)
    floor (12358.5)     		ty = 12358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45066 / 12358 ti = "16/45066/12358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45066/12358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45066 ÷ 216
    45066 ÷ 65536     		x = 0.687652587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12358 ÷ 216
    12358 ÷ 65536     		y = 0.188568115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687652587890625 × 2 - 1) × π
    0.37530517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17905598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188568115234375 × 2 - 1) × π
    0.62286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95678424249069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17905598} λ = 1.17905598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95678424249069))-π/2
    2×atan(7.07653401893269)-π/2
    2×1.43041372440315-π/2
    2.86082744880629-1.57079632675     		φ = 1.29003112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17905598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.554931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29003112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.913339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45066 KachelY 12358 1.17905598 1.29003112 67.554931 73.913339
    Oben rechts KachelX + 1 45067 KachelY 12358 1.17915186 1.29003112 67.560425 73.913339
    Unten links KachelX 45066 KachelY + 1 12359 1.17905598 1.29000456 67.554931 73.911817
    Unten rechts KachelX + 1 45067 KachelY + 1 12359 1.17915186 1.29000456 67.560425 73.911817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29003112-1.29000456) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dl = 169.213760000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29003112-1.29000456) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dr = 169.213760000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17905598-1.17915186) × cos(1.29003112) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.277090973735175 × 6371000     		do = 169.261431400662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17905598-1.17915186) × cos(1.29000456) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.277116493645784 × 6371000     		du = 169.277020275827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29003112)-sin(1.29000456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277090973735175-0.277116493645784)×R²
    abs(1.17915186-1.17905598)×2.55199106087844e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.55199106087844e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.55199106087844e-05×40589641000000     		ar = 28642.6821578648m²