Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45065 / 12356
↖ ↑ ↗
← N 73.916383°
E 67.549439°		 ← 169.21 m → N 73.916383°
E 67.554931°		 →
↑
169.21 m
↓
↑
169.21 m
↓
N 73.914861°
E 67.549439°		 ← 169.23 m →
28 634 m²		 N 73.914861°
E 67.554931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687644958496094 y=0.188545227050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687644958496094 × 216)
    floor (0.687644958496094 × 65536)
    floor (45065.5)     		tx = 45065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188545227050781 × 216)
    floor (0.188545227050781 × 65536)
    floor (12356.5)     		ty = 12356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45065 / 12356 ti = "16/45065/12356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45065/12356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45065 ÷ 216
    45065 ÷ 65536     		x = 0.687637329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12356 ÷ 216
    12356 ÷ 65536     		y = 0.18853759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687637329101562 × 2 - 1) × π
    0.375274658203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.17896011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18853759765625 × 2 - 1) × π
    0.6229248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.95697599008917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17896011} λ = 1.17896011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95697599008917))-π/2
    2×atan(7.07789105743666)-π/2
    2×1.43044028772025-π/2
    2.86088057544051-1.57079632675     		φ = 1.29008425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17896011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.549439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29008425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.916383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45065 KachelY 12356 1.17896011 1.29008425 67.549439 73.916383
    Oben rechts KachelX + 1 45066 KachelY 12356 1.17905598 1.29008425 67.554931 73.916383
    Unten links KachelX 45065 KachelY + 1 12357 1.17896011 1.29005769 67.549439 73.914861
    Unten rechts KachelX + 1 45066 KachelY + 1 12357 1.17905598 1.29005769 67.554931 73.914861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29008425-1.29005769) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dl = 169.213760000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29008425-1.29005769) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dr = 169.213760000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17896011-1.17905598) × cos(1.29008425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.277039923718983 × 6371000     		do = 169.212597209284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17896011-1.17905598) × cos(1.29005769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.277065444020586 × 6371000     		du = 169.22818469739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29008425)-sin(1.29005769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277039923718983-0.277065444020586)×R²
    abs(1.17905598-1.17896011)×2.55203016029659e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.55203016029659e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.55203016029659e-05×40589641000000     		ar = 28634.418623581m²