Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 45063 / 12355
↖ ↑ ↗
← N 73.917905°
E 67.538452°		 ← 169.21 m → N 73.917905°
E 67.543946°		 →
↑
169.21 m
↓
↑
169.21 m
↓
N 73.916383°
E 67.538452°		 ← 169.23 m →
28 635 m²		 N 73.916383°
E 67.543946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12355 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687614440917969 y=0.188529968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687614440917969 × 216)
    floor (0.687614440917969 × 65536)
    floor (45063.5)     		tx = 45063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188529968261719 × 216)
    floor (0.188529968261719 × 65536)
    floor (12355.5)     		ty = 12355
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45063 / 12355 ti = "16/45063/12355"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45063/12355.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45063 ÷ 216
    45063 ÷ 65536     		x = 0.687606811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12355 ÷ 216
    12355 ÷ 65536     		y = 0.188522338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687606811523438 × 2 - 1) × π
    0.375213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17876836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188522338867188 × 2 - 1) × π
    0.622955322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95707186388841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17876836} λ = 1.17876836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95707186388841))-π/2
    2×atan(7.07856967427321)-π/2
    2×1.43045356754364-π/2
    2.86090713508729-1.57079632675     		φ = 1.29011081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17876836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.538452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29011081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.917905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45063 KachelY 12355 1.17876836 1.29011081 67.538452 73.917905
    Oben rechts KachelX + 1 45064 KachelY 12355 1.17886424 1.29011081 67.543946 73.917905
    Unten links KachelX 45063 KachelY + 1 12356 1.17876836 1.29008425 67.538452 73.916383
    Unten rechts KachelX + 1 45064 KachelY + 1 12356 1.17886424 1.29008425 67.543946 73.916383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29011081-1.29008425) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dl = 169.213760000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29011081-1.29008425) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dr = 169.213760000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17876836-1.17886424) × cos(1.29011081) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.277014403221947 × 6371000     		do = 169.214658189332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17876836-1.17886424) × cos(1.29008425) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.277039923718983 × 6371000     		du = 169.230247422717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29011081)-sin(1.29008425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277014403221947-0.277039923718983)×R²
    abs(1.17886424-1.17876836)×2.55204970361911e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.55204970361911e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.55204970361911e-05×40589641000000     		ar = 28634.7675174552m²