Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45063 / 12331
↖ ↑ ↗
← N 73.954385°
E 67.538452°		 ← 168.84 m → N 73.954385°
E 67.543946°		 →
↑
168.83 m
↓
↑
168.83 m
↓
N 73.952866°
E 67.538452°		 ← 168.86 m →
28 507 m²		 N 73.952866°
E 67.543946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687614440917969 y=0.188163757324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687614440917969 × 216)
    floor (0.687614440917969 × 65536)
    floor (45063.5)     		tx = 45063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188163757324219 × 216)
    floor (0.188163757324219 × 65536)
    floor (12331.5)     		ty = 12331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45063 / 12331 ti = "16/45063/12331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45063/12331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45063 ÷ 216
    45063 ÷ 65536     		x = 0.687606811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12331 ÷ 216
    12331 ÷ 65536     		y = 0.188156127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687606811523438 × 2 - 1) × π
    0.375213623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17876836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188156127929688 × 2 - 1) × π
    0.623687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95937283507018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17876836} λ = 1.17876836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95937283507018))-π/2
    2×atan(7.09487601211409)-π/2
    2×1.43077191655088-π/2
    2.86154383310176-1.57079632675     		φ = 1.29074751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17876836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.538452°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29074751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.954385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45063 KachelY 12331 1.17876836 1.29074751 67.538452 73.954385
    Oben rechts KachelX + 1 45064 KachelY 12331 1.17886424 1.29074751 67.543946 73.954385
    Unten links KachelX 45063 KachelY + 1 12332 1.17876836 1.29072101 67.538452 73.952866
    Unten rechts KachelX + 1 45064 KachelY + 1 12332 1.17886424 1.29072101 67.543946 73.952866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29074751-1.29072101) × R
    2.65000000001514e-05 × 6371000     		dl = 168.831500000965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29074751-1.29072101) × R
    2.65000000001514e-05 × 6371000     		dr = 168.831500000965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17876836-1.17886424) × cos(1.29074751) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.276402563881023 × 6371000     		do = 168.840915222406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17876836-1.17886424) × cos(1.29072101) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.276428031395547 × 6371000     		du = 168.856472091345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29074751)-sin(1.29072101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276402563881023-0.276428031395547)×R²
    abs(1.17886424-1.17876836)×2.54675145240912e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.54675145240912e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.54675145240912e-05×40589641000000     		ar = 28506.9782250777m²