Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45062 / 77783
↖ ↑ ↗
← S 31.856564°
W 56.233520°		 ← 259.37 m → S 31.856564°
W 56.230774°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
S 31.858897°
W 56.233520°		 ← 259.36 m →
67 286 m²		 S 31.858897°
W 56.230774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343799591064453 y=0.593441009521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343799591064453 × 217)
    floor (0.343799591064453 × 131072)
    floor (45062.5)     		tx = 45062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593441009521484 × 217)
    floor (0.593441009521484 × 131072)
    floor (77783.5)     		ty = 77783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45062 / 77783 ti = "17/45062/77783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45062/77783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45062 ÷ 217
    45062 ÷ 131072     		x = 0.343795776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77783 ÷ 217
    77783 ÷ 131072     		y = 0.593437194824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343795776367188 × 2 - 1) × π
    -0.312408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.98146008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593437194824219 × 2 - 1) × π
    -0.186874389648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.587083209646828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98146008} λ = -0.98146008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.587083209646828))-π/2
    2×atan(0.555946501521093)-π/2
    2×0.507397196538608-π/2
    1.01479439307722-1.57079632675     		φ = -0.55600193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98146008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.233520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55600193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.856564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45062 KachelY 77783 -0.98146008 -0.55600193 -56.233520 -31.856564
    Oben rechts KachelX + 1 45063 KachelY 77783 -0.98141215 -0.55600193 -56.230774 -31.856564
    Unten links KachelX 45062 KachelY + 1 77784 -0.98146008 -0.55604265 -56.233520 -31.858897
    Unten rechts KachelX + 1 45063 KachelY + 1 77784 -0.98141215 -0.55604265 -56.230774 -31.858897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55600193--0.55604265) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55600193--0.55604265) × R
    4.07199999999941e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98146008--0.98141215) × cos(-0.55600193) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.849372053465317 × 6371000     		do = 259.365974470996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98146008--0.98141215) × cos(-0.55604265) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.849350560965995 × 6371000     		du = 259.359411477773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55600193)-sin(-0.55604265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.849372053465317-0.849350560965995)×R²
    abs(-0.98141215--0.98146008)×2.14924993214849e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.14924993214849e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.14924993214849e-05×40589641000000     		ar = 67285.7164829973m²