Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45062 / 12363
↖ ↑ ↗
← N 73.905726°
E 67.532959°		 ← 169.32 m → N 73.905726°
E 67.538452°		 →
↑
169.34 m
↓
↑
169.34 m
↓
N 73.904203°
E 67.532959°		 ← 169.34 m →
28 674 m²		 N 73.904203°
E 67.538452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687599182128906 y=0.188652038574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687599182128906 × 216)
    floor (0.687599182128906 × 65536)
    floor (45062.5)     		tx = 45062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188652038574219 × 216)
    floor (0.188652038574219 × 65536)
    floor (12363.5)     		ty = 12363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45062 / 12363 ti = "16/45062/12363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45062/12363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45062 ÷ 216
    45062 ÷ 65536     		x = 0.687591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12363 ÷ 216
    12363 ÷ 65536     		y = 0.188644409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687591552734375 × 2 - 1) × π
    0.37518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17867249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188644409179688 × 2 - 1) × π
    0.622711181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95630487349449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17867249} λ = 1.17867249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95630487349449))-π/2
    2×atan(7.07314256086832)-π/2
    2×1.43034729469529-π/2
    2.86069458939059-1.57079632675     		φ = 1.28989826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17867249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.532959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28989826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.905726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45062 KachelY 12363 1.17867249 1.28989826 67.532959 73.905726
    Oben rechts KachelX + 1 45063 KachelY 12363 1.17876836 1.28989826 67.538452 73.905726
    Unten links KachelX 45062 KachelY + 1 12364 1.17867249 1.28987168 67.532959 73.904203
    Unten rechts KachelX + 1 45063 KachelY + 1 12364 1.17876836 1.28987168 67.538452 73.904203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28989826-1.28987168) × R
    2.65799999998872e-05 × 6371000     		dl = 169.341179999282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28989826-1.28987168) × R
    2.65799999998872e-05 × 6371000     		dr = 169.341179999282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17867249-1.17876836) × cos(1.28989826) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.277218628981578 × 6371000     		do = 169.321748198112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17867249-1.17876836) × cos(1.28987168) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.277244167130119 × 6371000     		du = 169.337346586909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28989826)-sin(1.28987168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277218628981578-0.277244167130119)×R²
    abs(1.17876836-1.17867249)×2.55381485403938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.55381485403938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.55381485403938e-05×40589641000000     		ar = 28674.4653659199m²