Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45062 / 12326
↖ ↑ ↗
← N 73.961974°
E 67.532959°		 ← 168.75 m → N 73.961974°
E 67.538452°		 →
↑
168.70 m
↓
↑
168.70 m
↓
N 73.960457°
E 67.532959°		 ← 168.76 m →
28 469 m²		 N 73.960457°
E 67.538452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687599182128906 y=0.188087463378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687599182128906 × 216)
    floor (0.687599182128906 × 65536)
    floor (45062.5)     		tx = 45062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188087463378906 × 216)
    floor (0.188087463378906 × 65536)
    floor (12326.5)     		ty = 12326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45062 / 12326 ti = "16/45062/12326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45062/12326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45062 ÷ 216
    45062 ÷ 65536     		x = 0.687591552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12326 ÷ 216
    12326 ÷ 65536     		y = 0.188079833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687591552734375 × 2 - 1) × π
    0.37518310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17867249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188079833984375 × 2 - 1) × π
    0.62384033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.95985220406638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17867249} λ = 1.17867249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95985220406638))-π/2
    2×atan(7.09827789101868)-π/2
    2×1.43083815070334-π/2
    2.86167630140667-1.57079632675     		φ = 1.29087997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17867249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.532959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29087997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.961974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45062 KachelY 12326 1.17867249 1.29087997 67.532959 73.961974
    Oben rechts KachelX + 1 45063 KachelY 12326 1.17876836 1.29087997 67.538452 73.961974
    Unten links KachelX 45062 KachelY + 1 12327 1.17867249 1.29085349 67.532959 73.960457
    Unten rechts KachelX + 1 45063 KachelY + 1 12327 1.17876836 1.29085349 67.538452 73.960457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29087997-1.29085349) × R
    2.64800000000509e-05 × 6371000     		dl = 168.704080000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29087997-1.29085349) × R
    2.64800000000509e-05 × 6371000     		dr = 168.704080000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17867249-1.17876836) × cos(1.29087997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276275261840347 × 6371000     		do = 168.745551085628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17867249-1.17876836) × cos(1.29085349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276300711103494 × 6371000     		du = 168.761095184313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29087997)-sin(1.29085349))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276275261840347-0.276300711103494)×R²
    abs(1.17876836-1.17867249)×2.54492631461822e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54492631461822e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54492631461822e-05×40589641000000     		ar = 28469.3741281807m²