Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45061 / 77816
↖ ↑ ↗
← S 31.933517°
W 56.236267°		 ← 259.20 m → S 31.933517°
W 56.233520°		 →
↑
259.17 m
↓
↑
259.17 m
↓
S 31.935848°
W 56.236267°		 ← 259.20 m →
67 177 m²		 S 31.935848°
W 56.233520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343791961669922 y=0.593692779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343791961669922 × 217)
    floor (0.343791961669922 × 131072)
    floor (45061.5)     		tx = 45061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593692779541016 × 217)
    floor (0.593692779541016 × 131072)
    floor (77816.5)     		ty = 77816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45061 / 77816 ti = "17/45061/77816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45061/77816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45061 ÷ 217
    45061 ÷ 131072     		x = 0.343788146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77816 ÷ 217
    77816 ÷ 131072     		y = 0.59368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343788146972656 × 2 - 1) × π
    -0.312423706054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.98150802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1873779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58866512733429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98150802} λ = -0.98150802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58866512733429))-π/2
    2×atan(0.555067735168329)-π/2
    2×0.506725658786579-π/2
    1.01345131757316-1.57079632675     		φ = -0.55734501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98150802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.236267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55734501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.933517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45061 KachelY 77816 -0.98150802 -0.55734501 -56.236267 -31.933517
    Oben rechts KachelX + 1 45062 KachelY 77816 -0.98146008 -0.55734501 -56.233520 -31.933517
    Unten links KachelX 45061 KachelY + 1 77817 -0.98150802 -0.55738569 -56.236267 -31.935848
    Unten rechts KachelX + 1 45062 KachelY + 1 77817 -0.98146008 -0.55738569 -56.233520 -31.935848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55734501--0.55738569) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dl = 259.172280000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55734501--0.55738569) × R
    4.06800000000151e-05 × 6371000     		dr = 259.172280000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98150802--0.98146008) × cos(-0.55734501) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.8486624172632 × 6371000     		do = 259.203346803232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98150802--0.98146008) × cos(-0.55738569) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.848640899490299 × 6371000     		du = 259.196774721521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55734501)-sin(-0.55738569))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8486624172632-0.848640899490299)×R²
    abs(-0.98146008--0.98150802)×2.15177729009364e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.15177729009364e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.15177729009364e-05×40589641000000     		ar = 67177.4707331398m²