Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45061 / 12366
↖ ↑ ↗
← N 73.901158°
E 67.527466°		 ← 169.39 m → N 73.901158°
E 67.532959°		 →
↑
169.40 m
↓
↑
169.40 m
↓
N 73.899634°
E 67.527466°		 ← 169.40 m →
28 696 m²		 N 73.899634°
E 67.532959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687583923339844 y=0.188697814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687583923339844 × 216)
    floor (0.687583923339844 × 65536)
    floor (45061.5)     		tx = 45061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188697814941406 × 216)
    floor (0.188697814941406 × 65536)
    floor (12366.5)     		ty = 12366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45061 / 12366 ti = "16/45061/12366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45061/12366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45061 ÷ 216
    45061 ÷ 65536     		x = 0.687576293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12366 ÷ 216
    12366 ÷ 65536     		y = 0.188690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687576293945312 × 2 - 1) × π
    0.375152587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17857661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188690185546875 × 2 - 1) × π
    0.62261962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95601725209677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17857661} λ = 1.17857661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95601725209677))-π/2
    2×atan(7.07110846625728)-π/2
    2×1.43030742218182-π/2
    2.86061484436364-1.57079632675     		φ = 1.28981852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17857661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.527466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28981852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.901158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45061 KachelY 12366 1.17857661 1.28981852 67.527466 73.901158
    Oben rechts KachelX + 1 45062 KachelY 12366 1.17867249 1.28981852 67.532959 73.901158
    Unten links KachelX 45061 KachelY + 1 12367 1.17857661 1.28979193 67.527466 73.899634
    Unten rechts KachelX + 1 45062 KachelY + 1 12367 1.17867249 1.28979193 67.532959 73.899634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28981852-1.28979193) × R
    2.65900000000485e-05 × 6371000     		dl = 169.404890000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28981852-1.28979193) × R
    2.65900000000485e-05 × 6371000     		dr = 169.404890000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17857661-1.17867249) × cos(1.28981852) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.277295242839566 × 6371000     		do = 169.386209485789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17857661-1.17867249) × cos(1.28979193) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.27732079000821 × 6371000     		du = 169.401815011566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28981852)-sin(1.28979193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.277295242839566-0.27732079000821)×R²
    abs(1.17867249-1.17857661)×2.55471686442799e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.55471686442799e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.55471686442799e-05×40589641000000     		ar = 28696.1740132566m²