Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4506 / 13110
↖ ↑ ↗
← S 72.751039°
W 80.991211°		 ← 724.49 m → S 72.751039°
W 80.969238°		 →
↑
724.32 m
↓
↑
724.32 m
↓
S 72.757553°
W 80.991211°		 ← 724.23 m →
524 667 m²		 S 72.757553°
W 80.969238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.275054931640625 y=0.800201416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.275054931640625 × 214)
    floor (0.275054931640625 × 16384)
    floor (4506.5)     		tx = 4506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800201416015625 × 214)
    floor (0.800201416015625 × 16384)
    floor (13110.5)     		ty = 13110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4506 / 13110 ti = "14/4506/13110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4506/13110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4506 ÷ 214
    4506 ÷ 16384     		x = 0.2750244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13110 ÷ 214
    13110 ÷ 16384     		y = 0.8001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.449951171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41356330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8001708984375 × 2 - 1) × π
    -0.600341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88602937865149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41356330} λ = -1.41356330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88602937865149))-π/2
    2×atan(0.151672850249969)-π/2
    2×0.150525584119943-π/2
    0.301051168239887-1.57079632675     		φ = -1.26974516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41356330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -80.991211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26974516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.751039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4506 KachelY 13110 -1.41356330 -1.26974516 -80.991211 -72.751039
    Oben rechts KachelX + 1 4507 KachelY 13110 -1.41317980 -1.26974516 -80.969238 -72.751039
    Unten links KachelX 4506 KachelY + 1 13111 -1.41356330 -1.26985885 -80.991211 -72.757553
    Unten rechts KachelX + 1 4507 KachelY + 1 13111 -1.41317980 -1.26985885 -80.969238 -72.757553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26974516--1.26985885) × R
    0.000113690000000055 × 6371000     		dl = 724.318990000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26974516--1.26985885) × R
    0.000113690000000055 × 6371000     		dr = 724.318990000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41356330--1.41317980) × cos(-1.26974516) × R
    0.000383500000000092 × 0.296524261203974 × 6371000     		do = 724.491352128228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41356330--1.41317980) × cos(-1.26985885) × R
    0.000383500000000092 × 0.296415682459187 × 6371000     		du = 724.226064015533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26974516)-sin(-1.26985885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296524261203974-0.296415682459187)×R²
    abs(-1.41317980--1.41356330)×0.000108578744786925×R²
    0.000383500000000092×0.000108578744786925×6371000²
    0.000383500000000092×0.000108578744786925×40589641000000     		ar = 524666.768393034m²