Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45058 / 77881
↖ ↑ ↗
← S 32.084901°
W 56.244507°		 ← 258.78 m → S 32.084901°
W 56.241760°		 →
↑
258.79 m
↓
↑
258.79 m
↓
S 32.087229°
W 56.244507°		 ← 258.77 m →
66 968 m²		 S 32.087229°
W 56.241760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343769073486328 y=0.594188690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343769073486328 × 217)
    floor (0.343769073486328 × 131072)
    floor (45058.5)     		tx = 45058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594188690185547 × 217)
    floor (0.594188690185547 × 131072)
    floor (77881.5)     		ty = 77881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45058 / 77881 ti = "17/45058/77881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45058/77881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45058 ÷ 217
    45058 ÷ 131072     		x = 0.343765258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77881 ÷ 217
    77881 ÷ 131072     		y = 0.594184875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343765258789062 × 2 - 1) × π
    -0.312469482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98165183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594184875488281 × 2 - 1) × π
    -0.188369750976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.591781025809593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98165183} λ = -0.98165183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.591781025809593))-π/2
    2×atan(0.553340892189464)-π/2
    2×0.505404576300852-π/2
    1.0108091526017-1.57079632675     		φ = -0.55998717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98165183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.244507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55998717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.084901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45058 KachelY 77881 -0.98165183 -0.55998717 -56.244507 -32.084901
    Oben rechts KachelX + 1 45059 KachelY 77881 -0.98160389 -0.55998717 -56.241760 -32.084901
    Unten links KachelX 45058 KachelY + 1 77882 -0.98165183 -0.56002779 -56.244507 -32.087229
    Unten rechts KachelX + 1 45059 KachelY + 1 77882 -0.98160389 -0.56002779 -56.241760 -32.087229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55998717--0.56002779) × R
    4.06200000000467e-05 × 6371000     		dl = 258.790020000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55998717--0.56002779) × R
    4.06200000000467e-05 × 6371000     		dr = 258.790020000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98165183--0.98160389) × cos(-0.55998717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847261926062602 × 6371000     		do = 258.775600741326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98165183--0.98160389) × cos(-0.56002779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.847240349021817 × 6371000     		du = 258.769010557677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55998717)-sin(-0.56002779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847261926062602-0.847240349021817)×R²
    abs(-0.98160389--0.98165183)×2.15770407854254e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.15770407854254e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.15770407854254e-05×40589641000000     		ar = 66967.690163764m²