Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45054 / 12333
↖ ↑ ↗
← N 73.951347°
E 67.489014°		 ← 168.85 m → N 73.951347°
E 67.494507°		 →
↑
168.83 m
↓
↑
168.83 m
↓
N 73.949829°
E 67.489014°		 ← 168.87 m →
28 509 m²		 N 73.949829°
E 67.494507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687477111816406 y=0.188194274902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687477111816406 × 216)
    floor (0.687477111816406 × 65536)
    floor (45054.5)     		tx = 45054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188194274902344 × 216)
    floor (0.188194274902344 × 65536)
    floor (12333.5)     		ty = 12333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45054 / 12333 ti = "16/45054/12333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45054/12333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45054 ÷ 216
    45054 ÷ 65536     		x = 0.687469482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12333 ÷ 216
    12333 ÷ 65536     		y = 0.188186645507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687469482421875 × 2 - 1) × π
    0.37493896484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17790550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.188186645507812 × 2 - 1) × π
    0.623626708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.9591810874717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17790550} λ = 1.17790550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9591810874717))-π/2
    2×atan(7.09351571709807)-π/2
    2×1.43074541434483-π/2
    2.86149082868966-1.57079632675     		φ = 1.29069450
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17790550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.489014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29069450 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.951347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45054 KachelY 12333 1.17790550 1.29069450 67.489014 73.951347
    Oben rechts KachelX + 1 45055 KachelY 12333 1.17800137 1.29069450 67.494507 73.951347
    Unten links KachelX 45054 KachelY + 1 12334 1.17790550 1.29066800 67.489014 73.949829
    Unten rechts KachelX + 1 45055 KachelY + 1 12334 1.17800137 1.29066800 67.494507 73.949829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29069450-1.29066800) × R
    2.65000000001514e-05 × 6371000     		dl = 168.831500000965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29069450-1.29066800) × R
    2.65000000001514e-05 × 6371000     		dr = 168.831500000965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17790550-1.17800137) × cos(1.29069450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276453508326222 × 6371000     		do = 168.854421859246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17790550-1.17800137) × cos(1.29066800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.276478975452412 × 6371000     		du = 168.86997686846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29069450)-sin(1.29066800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276453508326222-0.276478975452412)×R²
    abs(1.17800137-1.17790550)×2.54671261897266e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54671261897266e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54671261897266e-05×40589641000000     		ar = 28509.2584138328m²