Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45053 / 12332
↖ ↑ ↗
← N 73.952866°
E 67.483520°		 ← 168.86 m → N 73.952866°
E 67.489014°		 →
↑
168.90 m
↓
↑
168.90 m
↓
N 73.951347°
E 67.483520°		 ← 168.87 m →
28 520 m²		 N 73.951347°
E 67.489014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687461853027344 y=0.188179016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687461853027344 × 216)
    floor (0.687461853027344 × 65536)
    floor (45053.5)     		tx = 45053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.188179016113281 × 216)
    floor (0.188179016113281 × 65536)
    floor (12332.5)     		ty = 12332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45053 / 12332 ti = "16/45053/12332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45053/12332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45053 ÷ 216
    45053 ÷ 65536     		x = 0.687454223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12332 ÷ 216
    12332 ÷ 65536     		y = 0.18817138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687454223632812 × 2 - 1) × π
    0.374908447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.17780962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18817138671875 × 2 - 1) × π
    0.6236572265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.95927696127094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17780962} λ = 1.17780962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.95927696127094))-π/2
    2×atan(7.09419583200192)-π/2
    2×1.43075866605832-π/2
    2.86151733211664-1.57079632675     		φ = 1.29072101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17780962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.483520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29072101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.952866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45053 KachelY 12332 1.17780962 1.29072101 67.483520 73.952866
    Oben rechts KachelX + 1 45054 KachelY 12332 1.17790550 1.29072101 67.489014 73.952866
    Unten links KachelX 45053 KachelY + 1 12333 1.17780962 1.29069450 67.483520 73.951347
    Unten rechts KachelX + 1 45054 KachelY + 1 12333 1.17790550 1.29069450 67.489014 73.951347
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29072101-1.29069450) × R
    2.65099999998686e-05 × 6371000     		dl = 168.895209999163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29072101-1.29069450) × R
    2.65099999998686e-05 × 6371000     		dr = 168.895209999163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17780962-1.17790550) × cos(1.29072101) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.276428031395547 × 6371000     		do = 168.856472091736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17780962-1.17790550) × cos(1.29069450) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.276453508326222 × 6371000     		du = 168.872034712545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29072101)-sin(1.29069450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.276428031395547-0.276453508326222)×R²
    abs(1.17790550-1.17780962)×2.54769306751723e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.54769306751723e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.54769306751723e-05×40589641000000     		ar = 28520.363541514m²