Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4505 / 4725
↖ ↑ ↗
← S 26.627818°
E 17.973633°		 ← 4 368.22 m → S 26.627818°
E 18.017578°		 →
↑
4 367.45 m
↓
↑
4 367.45 m
↓
S 26.667096°
E 17.973633°		 ← 4 366.71 m →
19 074 675 m²		 S 26.667096°
E 18.017578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.54998779296875 y=0.57684326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.54998779296875 × 213)
    floor (0.54998779296875 × 8192)
    floor (4505.5)     		tx = 4505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.57684326171875 × 213)
    floor (0.57684326171875 × 8192)
    floor (4725.5)     		ty = 4725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4505 / 4725 ti = "13/4505/4725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4505/4725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4505 ÷ 213
    4505 ÷ 8192     		x = 0.5499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4725 ÷ 213
    4725 ÷ 8192     		y = 0.5767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5499267578125 × 2 - 1) × π
    0.099853515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.31369907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.153564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.482436957776245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.31369907} λ = 0.31369907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482436957776245))-π/2
    2×atan(0.617277278720037)-π/2
    2×0.553026613067054-π/2
    1.10605322613411-1.57079632675     		φ = -0.46474310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.31369907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 17.973633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46474310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.627818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4505 KachelY 4725 0.31369907 -0.46474310 17.973633 -26.627818
    Oben rechts KachelX + 1 4506 KachelY 4725 0.31446606 -0.46474310 18.017578 -26.627818
    Unten links KachelX 4505 KachelY + 1 4726 0.31369907 -0.46542862 17.973633 -26.667096
    Unten rechts KachelX + 1 4506 KachelY + 1 4726 0.31446606 -0.46542862 18.017578 -26.667096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46474310--0.46542862) × R
    0.000685519999999995 × 6371000     		dl = 4367.44791999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46474310--0.46542862) × R
    0.000685519999999995 × 6371000     		dr = 4367.44791999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.31369907-0.31446606) × cos(-0.46474310) × R
    0.000766989999999967 × 0.893936735928101 × 6371000     		do = 4368.21586179698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.31369907-0.31446606) × cos(-0.46542862) × R
    0.000766989999999967 × 0.89362928052719 × 6371000     		du = 4366.71348304346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46474310)-sin(-0.46542862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893936735928101-0.89362928052719)×R²
    abs(0.31446606-0.31369907)×0.000307455400911261×R²
    0.000766989999999967×0.000307455400911261×6371000²
    0.000766989999999967×0.000307455400911261×40589641000000     		ar = 19074675.246228m²