Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 4505 / 13119
↖ ↑ ↗
← S 72.809581°
W 81.013184°		 ← 722.09 m → S 72.809581°
W 80.991211°		 →
↑
721.96 m
↓
↑
721.96 m
↓
S 72.816073°
W 81.013184°		 ← 721.82 m →
521 224 m²		 S 72.816073°
W 80.991211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274993896484375 y=0.800750732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274993896484375 × 214)
    floor (0.274993896484375 × 16384)
    floor (4505.5)     		tx = 4505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800750732421875 × 214)
    floor (0.800750732421875 × 16384)
    floor (13119.5)     		ty = 13119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4505 / 13119 ti = "14/4505/13119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4505/13119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4505 ÷ 214
    4505 ÷ 16384     		x = 0.27496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13119 ÷ 214
    13119 ÷ 16384     		y = 0.80072021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41394679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80072021484375 × 2 - 1) × π
    -0.6014404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88948083542413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41394679} λ = -1.41394679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88948083542413))-π/2
    2×atan(0.151150260330787)-π/2
    2×0.150014706319454-π/2
    0.300029412638907-1.57079632675     		φ = -1.27076691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41394679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.013184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.27076691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.809581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4505 KachelY 13119 -1.41394679 -1.27076691 -81.013184 -72.809581
    Oben rechts KachelX + 1 4506 KachelY 13119 -1.41356330 -1.27076691 -80.991211 -72.809581
    Unten links KachelX 4505 KachelY + 1 13120 -1.41394679 -1.27088023 -81.013184 -72.816073
    Unten rechts KachelX + 1 4506 KachelY + 1 13120 -1.41356330 -1.27088023 -80.991211 -72.816073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.27076691--1.27088023) × R
    0.000113319999999861 × 6371000     		dl = 721.961719999116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.27076691--1.27088023) × R
    0.000113319999999861 × 6371000     		dr = 721.961719999116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41394679--1.41356330) × cos(-1.27076691) × R
    0.000383489999999931 × 0.295548309471029 × 6371000     		do = 722.088000858986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41394679--1.41356330) × cos(-1.27088023) × R
    0.000383489999999931 × 0.29544004982785 × 6371000     		du = 721.82349929761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.27076691)-sin(-1.27088023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.295548309471029-0.29544004982785)×R²
    abs(-1.41356330--1.41394679)×0.000108259643179509×R²
    0.000383489999999931×0.000108259643179509×6371000²
    0.000383489999999931×0.000108259643179509×40589641000000     		ar = 521224.415647352m²