Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 4505 / 13111
↖ ↑ ↗
← S 72.757553°
W 81.013184°		 ← 724.21 m → S 72.757553°
W 80.991211°		 →
↑
724.13 m
↓
↑
724.13 m
↓
S 72.764065°
W 81.013184°		 ← 723.94 m →
524 323 m²		 S 72.764065°
W 80.991211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.274993896484375 y=0.800262451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.274993896484375 × 214)
    floor (0.274993896484375 × 16384)
    floor (4505.5)     		tx = 4505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.800262451171875 × 214)
    floor (0.800262451171875 × 16384)
    floor (13111.5)     		ty = 13111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 4505 / 13111 ti = "14/4505/13111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/4505/13111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4505 ÷ 214
    4505 ÷ 16384     		x = 0.27496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13111 ÷ 214
    13111 ÷ 16384     		y = 0.80023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.41394679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.80023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.6004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.88641287384845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.41394679} λ = -1.41394679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.88641287384845))-π/2
    2×atan(0.151614695592118)-π/2
    2×0.150468736715573-π/2
    0.300937473431146-1.57079632675     		φ = -1.26985885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.41394679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -81.013184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26985885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.757553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4505 KachelY 13111 -1.41394679 -1.26985885 -81.013184 -72.757553
    Oben rechts KachelX + 1 4506 KachelY 13111 -1.41356330 -1.26985885 -80.991211 -72.757553
    Unten links KachelX 4505 KachelY + 1 13112 -1.41394679 -1.26997251 -81.013184 -72.764065
    Unten rechts KachelX + 1 4506 KachelY + 1 13112 -1.41356330 -1.26997251 -80.991211 -72.764065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26985885--1.26997251) × R
    0.000113660000000015 × 6371000     		dl = 724.127860000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26985885--1.26997251) × R
    0.000113660000000015 × 6371000     		dr = 724.127860000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.41394679--1.41356330) × cos(-1.26985885) × R
    0.000383489999999931 × 0.296415682459187 × 6371000     		do = 724.207179372099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.41394679--1.41356330) × cos(-1.26997251) × R
    0.000383489999999931 × 0.296307128535886 × 6371000     		du = 723.941958821176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26985885)-sin(-1.26997251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.296415682459187-0.296307128535886)×R²
    abs(-1.41356330--1.41394679)×0.000108553923301502×R²
    0.000383489999999931×0.000108553923301502×6371000²
    0.000383489999999931×0.000108553923301502×40589641000000     		ar = 524322.568765592m²