Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45047 / 78165
↖ ↑ ↗
← S 32.743393°
W 56.274719°		 ← 256.89 m → S 32.743393°
W 56.271973°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
S 32.745703°
W 56.274719°		 ← 256.89 m →
65 990 m²		 S 32.745703°
W 56.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343685150146484 y=0.596355438232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343685150146484 × 217)
    floor (0.343685150146484 × 131072)
    floor (45047.5)     		tx = 45047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596355438232422 × 217)
    floor (0.596355438232422 × 131072)
    floor (78165.5)     		ty = 78165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45047 / 78165 ti = "17/45047/78165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45047/78165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45047 ÷ 217
    45047 ÷ 131072     		x = 0.343681335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78165 ÷ 217
    78165 ÷ 131072     		y = 0.596351623535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343681335449219 × 2 - 1) × π
    -0.312637329101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.98217914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596351623535156 × 2 - 1) × π
    -0.192703247070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.605395105301689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98217914} λ = -0.98217914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605395105301689))-π/2
    2×atan(0.545858712356362)-π/2
    2×0.499658160443855-π/2
    0.99931632088771-1.57079632675     		φ = -0.57148001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98217914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.274719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57148001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.743393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45047 KachelY 78165 -0.98217914 -0.57148001 -56.274719 -32.743393
    Oben rechts KachelX + 1 45048 KachelY 78165 -0.98213120 -0.57148001 -56.271973 -32.743393
    Unten links KachelX 45047 KachelY + 1 78166 -0.98217914 -0.57152033 -56.274719 -32.745703
    Unten rechts KachelX + 1 45048 KachelY + 1 78166 -0.98213120 -0.57152033 -56.271973 -32.745703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57148001--0.57152033) × R
    4.03199999999826e-05 × 6371000     		dl = 256.878719999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57148001--0.57152033) × R
    4.03199999999826e-05 × 6371000     		dr = 256.878719999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98217914--0.98213120) × cos(-0.57148001) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84110139256315 × 6371000     		do = 256.894015238462m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98217914--0.98213120) × cos(-0.57152033) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.841079583699508 × 6371000     		du = 256.887354250146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57148001)-sin(-0.57152033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84110139256315-0.841079583699508)×R²
    abs(-0.98213120--0.98217914)×2.18088636427805e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18088636427805e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18088636427805e-05×40589641000000     		ar = 65989.7502860345m²