Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 45047 / 12314
↖ ↑ ↗
← N 73.980176°
E 67.450561°		 ← 168.56 m → N 73.980176°
E 67.456054°		 →
↑
168.58 m
↓
↑
168.58 m
↓
N 73.978660°
E 67.450561°		 ← 168.57 m →
28 416 m²		 N 73.978660°
E 67.456054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.687370300292969 y=0.187904357910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.687370300292969 × 216)
    floor (0.687370300292969 × 65536)
    floor (45047.5)     		tx = 45047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.187904357910156 × 216)
    floor (0.187904357910156 × 65536)
    floor (12314.5)     		ty = 12314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 45047 / 12314 ti = "16/45047/12314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/45047/12314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45047 ÷ 216
    45047 ÷ 65536     		x = 0.687362670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12314 ÷ 216
    12314 ÷ 65536     		y = 0.187896728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.687362670898438 × 2 - 1) × π
    0.374725341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.17723438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.187896728515625 × 2 - 1) × π
    0.62420654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.96100268965726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17723438} λ = 1.17723438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.96100268965726))-π/2
    2×atan(7.10644905695541)-π/2
    2×1.43099698822198-π/2
    2.86199397644396-1.57079632675     		φ = 1.29119765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17723438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.450561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29119765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.980176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45047 KachelY 12314 1.17723438 1.29119765 67.450561 73.980176
    Oben rechts KachelX + 1 45048 KachelY 12314 1.17733025 1.29119765 67.456054 73.980176
    Unten links KachelX 45047 KachelY + 1 12315 1.17723438 1.29117119 67.450561 73.978660
    Unten rechts KachelX + 1 45048 KachelY + 1 12315 1.17733025 1.29117119 67.456054 73.978660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29119765-1.29117119) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dl = 168.576659999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29119765-1.29117119) × R
    2.64599999999504e-05 × 6371000     		dr = 168.576659999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17723438-1.17733025) × cos(1.29119765) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275969932470719 × 6371000     		do = 168.559059640837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17723438-1.17733025) × cos(1.29117119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.275995364833582 × 6371000     		du = 168.574593417036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29119765)-sin(1.29117119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.275969932470719-0.275995364833582)×R²
    abs(1.17733025-1.17723438)×2.54323628631203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.54323628631203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.54323628631203e-05×40589641000000     		ar = 28416.4326047201m²