Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45045 / 78181
↖ ↑ ↗
← S 32.780347°
W 56.280212°		 ← 256.79 m → S 32.780347°
W 56.277466°		 →
↑
256.75 m
↓
↑
256.75 m
↓
S 32.782656°
W 56.280212°		 ← 256.78 m →
65 930 m²		 S 32.782656°
W 56.277466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343669891357422 y=0.596477508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343669891357422 × 217)
    floor (0.343669891357422 × 131072)
    floor (45045.5)     		tx = 45045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596477508544922 × 217)
    floor (0.596477508544922 × 131072)
    floor (78181.5)     		ty = 78181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45045 / 78181 ti = "17/45045/78181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45045/78181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45045 ÷ 217
    45045 ÷ 131072     		x = 0.343666076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78181 ÷ 217
    78181 ÷ 131072     		y = 0.596473693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343666076660156 × 2 - 1) × π
    -0.312667846679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.98227501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596473693847656 × 2 - 1) × π
    -0.192947387695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.60616209569561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98227501} λ = -0.98227501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60616209569561))-π/2
    2×atan(0.545440204483822)-π/2
    2×0.499335669018227-π/2
    0.998671338036453-1.57079632675     		φ = -0.57212499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98227501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.280212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57212499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.780347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45045 KachelY 78181 -0.98227501 -0.57212499 -56.280212 -32.780347
    Oben rechts KachelX + 1 45046 KachelY 78181 -0.98222707 -0.57212499 -56.277466 -32.780347
    Unten links KachelX 45045 KachelY + 1 78182 -0.98227501 -0.57216529 -56.280212 -32.782656
    Unten rechts KachelX + 1 45046 KachelY + 1 78182 -0.98222707 -0.57216529 -56.277466 -32.782656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57212499--0.57216529) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dl = 256.751299999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57212499--0.57216529) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dr = 256.751299999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98227501--0.98222707) × cos(-0.57212499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.840752362482102 × 6371000     		do = 256.787412467676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98227501--0.98222707) × cos(-0.57216529) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.840730542579015 × 6371000     		du = 256.780748107629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57212499)-sin(-0.57216529))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.840752362482102-0.840730542579015)×R²
    abs(-0.98222707--0.98227501)×2.18199030874722e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18199030874722e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18199030874722e-05×40589641000000     		ar = 65929.6464420331m²