Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45045 / 78179
↖ ↑ ↗
← S 32.775729°
W 56.280212°		 ← 256.80 m → S 32.775729°
W 56.277466°		 →
↑
256.82 m
↓
↑
256.82 m
↓
S 32.778038°
W 56.280212°		 ← 256.79 m →
65 949 m²		 S 32.778038°
W 56.277466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343669891357422 y=0.596462249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343669891357422 × 217)
    floor (0.343669891357422 × 131072)
    floor (45045.5)     		tx = 45045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596462249755859 × 217)
    floor (0.596462249755859 × 131072)
    floor (78179.5)     		ty = 78179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45045 / 78179 ti = "17/45045/78179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45045/78179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45045 ÷ 217
    45045 ÷ 131072     		x = 0.343666076660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78179 ÷ 217
    78179 ÷ 131072     		y = 0.596458435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343666076660156 × 2 - 1) × π
    -0.312667846679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.98227501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596458435058594 × 2 - 1) × π
    -0.192916870117188 × 3.1415926535     		Φ = -0.60606622189637
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98227501} λ = -0.98227501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.60606622189637))-π/2
    2×atan(0.545492500415349)-π/2
    2×0.499375973125864-π/2
    0.998751946251728-1.57079632675     		φ = -0.57204438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98227501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.280212°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57204438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.775729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45045 KachelY 78179 -0.98227501 -0.57204438 -56.280212 -32.775729
    Oben rechts KachelX + 1 45046 KachelY 78179 -0.98222707 -0.57204438 -56.277466 -32.775729
    Unten links KachelX 45045 KachelY + 1 78180 -0.98227501 -0.57208469 -56.280212 -32.778038
    Unten rechts KachelX + 1 45046 KachelY + 1 78180 -0.98222707 -0.57208469 -56.277466 -32.778038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57204438--0.57208469) × R
    4.03099999999323e-05 × 6371000     		dl = 256.815009999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57204438--0.57208469) × R
    4.03099999999323e-05 × 6371000     		dr = 256.815009999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98227501--0.98222707) × cos(-0.57204438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.84079600360539 × 6371000     		do = 256.800741590051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98227501--0.98222707) × cos(-0.57208469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.840774181019732 × 6371000     		du = 256.794076410677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57204438)-sin(-0.57208469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84079600360539-0.840774181019732)×R²
    abs(-0.98222707--0.98227501)×2.18225856579712e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.18225856579712e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.18225856579712e-05×40589641000000     		ar = 65949.4291693393m²