Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 45044 / 78166
↖ ↑ ↗
← S 32.745703°
W 56.282959°		 ← 256.89 m → S 32.745703°
W 56.280212°		 →
↑
256.82 m
↓
↑
256.82 m
↓
S 32.748012°
W 56.282959°		 ← 256.88 m →
65 972 m²		 S 32.748012°
W 56.280212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 45044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.343662261962891 y=0.596363067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.343662261962891 × 217)
    floor (0.343662261962891 × 131072)
    floor (45044.5)     		tx = 45044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.596363067626953 × 217)
    floor (0.596363067626953 × 131072)
    floor (78166.5)     		ty = 78166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 45044 / 78166 ti = "17/45044/78166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/45044/78166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 45044 ÷ 217
    45044 ÷ 131072     		x = 0.343658447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78166 ÷ 217
    78166 ÷ 131072     		y = 0.596359252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.343658447265625 × 2 - 1) × π
    -0.31268310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.98232295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.596359252929688 × 2 - 1) × π
    -0.192718505859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.605443042201309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.98232295} λ = -0.98232295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.605443042201309))-π/2
    2×atan(0.545832546209228)-π/2
    2×0.499638000808645-π/2
    0.99927600161729-1.57079632675     		φ = -0.57152033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.98232295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57152033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.745703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 45044 KachelY 78166 -0.98232295 -0.57152033 -56.282959 -32.745703
    Oben rechts KachelX + 1 45045 KachelY 78166 -0.98227501 -0.57152033 -56.280212 -32.745703
    Unten links KachelX 45044 KachelY + 1 78167 -0.98232295 -0.57156064 -56.282959 -32.748012
    Unten rechts KachelX + 1 45045 KachelY + 1 78167 -0.98227501 -0.57156064 -56.280212 -32.748012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57152033--0.57156064) × R
    4.03099999999323e-05 × 6371000     		dl = 256.815009999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57152033--0.57156064) × R
    4.03099999999323e-05 × 6371000     		dr = 256.815009999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.98232295--0.98227501) × cos(-0.57152033) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.841079583699508 × 6371000     		do = 256.88735425074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.98232295--0.98227501) × cos(-0.57156064) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.841057778877973 × 6371000     		du = 256.880694496988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57152033)-sin(-0.57156064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.841079583699508-0.841057778877973)×R²
    abs(-0.98227501--0.98232295)×2.18048215349098e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.18048215349098e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.18048215349098e-05×40589641000000     		ar = 65971.6732971901m²